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高中數學共線定理和推論助力高考
高中數學共線定理和推論助力高考
更新时间:2025-04-03 10:51:56

高中數學人教版把平面向量作為處理平面問題的工具(如兩點距離公式,向量共線定理,向量垂直,定比分點坐标公式,平移,夾角等)。尤其是垂直與共線問題,使用向量垂直與向量共線比傳統方法簡單許多。

例1. 過定點A(a,b)任作互相垂直的兩直線

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,且

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軸交于M點,

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軸交于N點,求線段MN中點P的軌迹方程。

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解:設

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,由中點坐标公式得

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則向量

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因為

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所以

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整理得

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該解法避開斜率,不再分斜率存在和不存在兩種情況進行讨論,也就不存在丢掉斜率不存在的情況,同時也簡化了計算。該題的實質是向量垂直的應用。

例2. 設圓

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,過原點O作圓的任意弦,求所作弦的中點P的軌迹方程。

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解:設,圓心

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,則由圓的性質知

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,則

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所以

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所以

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整理得:

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該解題法較多,但直接用斜率,仍需讨論。利用向量垂直,簡單且不用讨論。該題的實質也是向量垂直的應用。

例3. 已知橢圓

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,直線

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,P是上一點,射線OP交橢圓于點R,又點Q在OP上且滿足

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。當點P在上移動時,求點Q的軌迹方程,并說明軌迹是什麼。

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解:設

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,由題意知

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不同時為零,則

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因為

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共線且向量

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同向

所以

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都是正數

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在上,

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所以

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整理得:

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顯然

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在其上,但不滿足題意,應舍去。

∴點Q的軌迹是以(1,1)為中心,長半軸長為

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,短半軸長為

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,且長軸與x軸平行的橢圓,去掉坐标原點。

該題的實質是向量共線的應用。設出Q點坐标,利用共線得P和R的坐标及向量

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關系,找到

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的關系,再利用點P在直線上,點R在橢圓上找到x,y關系,從而使問題得到解決。

例4. 已知橢圓

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的右準線

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軸相交于點E,過橢圓右焦點F的直線與橢圓相交于A、B兩點,點C在右準線上,且

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軸。求證:直線AC經過線段EF的中點。

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證明:依題設得橢圓的半焦距c=1,右焦點為F(1,0),右準線方程為

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,點E的坐标為(2,0),EF的中點

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若AB垂直于x軸,則

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則AC中點為

即AC過EF中點N,若AB不垂直于x軸,由直線AB過點F,且由BC//x軸知點B不在x軸上,故直線AB的方程為

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聯立

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,消去y得

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,且

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都在

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所以

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共線,故三點A、N、C共線,即直線AC經過線段EF的中點N。

大多數同學能做到消元後得兩根之和與兩根之積,有的能得到AN與CN的斜率,但能證兩斜率相等的同學不多。因為要證兩斜率相等,必先找到

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的關系,而該關系是通過兩根之和與兩根之積給出的,必須構造出兩根之和與兩根之積:可通過作差去構造,實質是作差法證相等。

上面的解法中,我們利用直線AC過點N時,三點A、C、N共線,利用向量共線定理充要條件,化簡後直接用到兩根之和與兩根之積,使問題解決。體現出向量共線定理直接給出坐标之間的内在關系,不用我們再去作差構造了。從而可見向量共線解決解析幾何問題的優越性。

解析幾何中的垂直、共線問題,應這樣用:垂直問題,先設坐标,利用數量積為零找坐标聯系,再與兩根之和、兩根之積聯系起來去求,如

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,可設,,則

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,則

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,聯立方程消元後用韋達定理求。共線問題,先設坐标,利用共線找坐标的内在聯系,結合韋達定理求。尤其是那些隐性的共線關系,一定要先化簡找到共線關系再去求。定比分點問題的實質也是共線問題。

解析幾何中的垂直、共線問題,可以用老教材中的傳統方法,也可以用向量垂直、向量共線這些方法,不僅可省去某些讨論(如斜率存在不存在),也可直接抓住坐标的内在聯系,不用我們再去費盡心血去構造了。

▍ 來源:綜合網絡

▍ 編輯:Wordwuli

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