高中數學人教版把平面向量作為處理平面問題的工具（如兩點距離公式，向量共線定理，向量垂直，定比分點坐标公式，平移，夾角等）。尤其是垂直與共線問題，使用向量垂直與向量共線比傳統方法簡單許多。

例1. 過定點A（a，b）任作互相垂直的兩直線

，且

軸交于M點，

軸交于N點，求線段MN中點P的軌迹方程。

解：設

，由中點坐标公式得

則向量

因為

所以

整理得

該解法避開斜率，不再分斜率存在和不存在兩種情況進行讨論，也就不存在丢掉斜率不存在的情況，同時也簡化了計算。該題的實質是向量垂直的應用。

例2. 設圓

，過原點O作圓的任意弦，求所作弦的中點P的軌迹方程。

解：設，圓心

，則由圓的性質知

，則

所以

又

所以

整理得：

即

該解題法較多，但直接用斜率，仍需讨論。利用向量垂直，簡單且不用讨論。該題的實質也是向量垂直的應用。

例3. 已知橢圓

，直線

，P是上一點，射線OP交橢圓于點R，又點Q在OP上且滿足

。當點P在上移動時，求點Q的軌迹方程，并說明軌迹是什麼。

解：設

，由題意知

不同時為零，則

因為

共線且向量

同向

所以

都是正數

則

又

在上，

故

即

又

即

所以

整理得：

即

即

顯然

在其上，但不滿足題意，應舍去。

∴點Q的軌迹是以（1，1）為中心，長半軸長為

，短半軸長為

，且長軸與x軸平行的橢圓，去掉坐标原點。

該題的實質是向量共線的應用。設出Q點坐标，利用共線得P和R的坐标及向量

關系，找到

與

的關系，再利用點P在直線上，點R在橢圓上找到x，y關系，從而使問題得到解決。

例4. 已知橢圓

的右準線

軸相交于點E，過橢圓右焦點F的直線與橢圓相交于A、B兩點，點C在右準線上，且

軸。求證：直線AC經過線段EF的中點。

證明：依題設得橢圓的半焦距c=1，右焦點為F（1，0），右準線方程為

，點E的坐标為（2，0），EF的中點

。

若AB垂直于x軸，則

，

則AC中點為

即AC過EF中點N，若AB不垂直于x軸，由直線AB過點F，且由BC//x軸知點B不在x軸上，故直線AB的方程為

。

聯立

，消去y得

設

則

，且

又

，

都在

上

所以

又

則

共線，故三點A、N、C共線，即直線AC經過線段EF的中點N。

大多數同學能做到消元後得兩根之和與兩根之積，有的能得到AN與CN的斜率，但能證兩斜率相等的同學不多。因為要證兩斜率相等，必先找到

的關系，而該關系是通過兩根之和與兩根之積給出的，必須構造出兩根之和與兩根之積：可通過作差去構造，實質是作差法證相等。

上面的解法中，我們利用直線AC過點N時，三點A、C、N共線，利用向量共線定理充要條件，化簡後直接用到兩根之和與兩根之積，使問題解決。體現出向量共線定理直接給出坐标之間的内在關系，不用我們再去作差構造了。從而可見向量共線解決解析幾何問題的優越性。

解析幾何中的垂直、共線問題，應這樣用：垂直問題，先設坐标，利用數量積為零找坐标聯系，再與兩根之和、兩根之積聯系起來去求，如

，可設，，則

，則

，聯立方程消元後用韋達定理求。共線問題，先設坐标，利用共線找坐标的内在聯系，結合韋達定理求。尤其是那些隐性的共線關系，一定要先化簡找到共線關系再去求。定比分點問題的實質也是共線問題。

解析幾何中的垂直、共線問題，可以用老教材中的傳統方法，也可以用向量垂直、向量共線這些方法，不僅可省去某些讨論（如斜率存在不存在），也可直接抓住坐标的内在聯系，不用我們再去費盡心血去構造了。

▍ 來源：綜合網絡

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