平面

數學中常用銳角成45°且橫邊長等于其鄰邊長的2倍的平行四邊形表示平面。一個平面被另一個平面遮擋住時，用虛線畫遮擋的部分。

平行四邊形表示平面

平行四邊形表示平面的描述 :

① 把希臘字母α，β、y等寫在平行四邊形的一個角上表示平面 : 平面α 。

② 用平行四邊形的四個頂點代表平面的 : 平面ABCD 。

③ 用相對的兩個頂點的大寫英文字母表示平面 : 平面AC或平面BD 。

平面可以看成點的集合，點A在平面 α 内，記作 A∈α；點 B 在平面 α 外，記作 B∉α

點與平面的位置關系

公理① 如果一條直線上的兩點在一個平面内，那麼這條直線在此平面内。(判斷直線是否在平面内)

A∈ι ，B∈ι ，且 A∈α ，B∈α → ι∈α

公理 ①

直線 ι 上的所有點都在平面 α 内，即直線在平面 α 内(平面 α 經過直線)。

直線在平面内的表示

公理② 過不在一條直線上的三點，有且隻有一個平面(可以記成“平面ABC”)。

公理 ② : 平面ABC

公理③ 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那麼它們有且隻有一條過該點的公共直線。

P∈ α ，且 P ∈ β ，α∩β = ι ，且 P∈ι

公理 ③

平面 α 與 β 相交于直線 ι ，記作 α∩β = ι 。

例題 : 用符号表示下列圖形中點、直線、平面之間的位置關系。

例題圖

空間中直線與直線的位置關系

不同在任何一個平面内的兩條直線叫做異面直線。

空間兩條直線的位置關系有且隻有三種：

直線與直線的位置關系

異面直線的作圖 :

異面直線作圖表示

公理 ④ 平行于同一條直線的兩條直線互相平行(空間平行線的傳遞性)。(判斷空間兩條直線平行的依據)

例題 : 如圖，空間四邊形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中點。

求證：四邊形EFGH是平行四邊形。

例題圖

定理 : 空間中如果兩個角的兩邊分别對應平行，那麼這兩個角相等或互補。

夾角刻畫了一條直線相對于另一條直線傾斜的程度。

如圖，已知兩條異面直線a，b，經過空間任一點O作直線a'//a，b'//b，把a'與b'所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)。

異面直線的夾角

如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條直線互相垂直，記作 a ⊥ b。

研究異面直線所成的角，即通過平移把異面直線轉化為相交直線(把空間圖形問題轉化為平面圖形問題)。

空間中直線與平面之間的關系

① 直線在平面内(有無數個公共點)。

② 直線與平面相交(有且隻有一個公共點)。

③ 直線與平面平行(沒有公共點)。

直線與平面的位置關系

直線 a 與平面 α 相交于點 A，記作 a∩α=A ，直線 a 與平面 α 平行，記作 a//α 。

直線與平面相交或平行的情況統稱為直線在平面外。

平面與平面之間的位置關系

① 兩個平面平行——沒有公共點。

② 兩個平面相交——有一條公共直線。

平面平行

平面 α 與平面平行，記作 α//β 。

例題答案

例題答案

例題答案