一、基本知識原理

設一元二次方程ax2 bx c=0（a≠0）的兩個根分别為x1 ，x2 ，則有

根與系數的關系：x1 x2 = -(b/a)；x1 x2 =c/a ；

根與方程的關系：ax12 bx1 c=0 ，ax22 bx2 c=0 。

數學

二、解題方法與策略

對于中考數學中這種常見填空題型，出題方式一般是，條件中直接告訴方程有兩個根，但通常不會告訴這兩個根的具體值，就算你用求根公式可以解出根的具體值，看起來非常繁瑣，也不利于求解。

所以，對于這種題目我們的解題方法與策略是：（1）運用根與系數的關系，先求出方程兩個根的和與積；（2）對方程進行适當變形，使二次項轉化為一次項或常數；或對所求代數表達式進行适當的變形，使其變為含有兩根的和或積的形式；（3）代入兩個根的和與積，或者代入根與方程的關系，進行計算，問題便迎刃而解。

三、例題詳解

例1、已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣2020＝0的兩個根，則a2 2b﹣3的值等于　 　

解：由題意可知：a2﹣2a＝2020， （對方程進行适當的變形，使高次項轉化為一次項或常數）

由根與系數的關系可知：a b＝2， （根據方程求出兩個根的和）

∴原式＝a2﹣2a 2a 2b﹣3 （對所求代數表達式進行适當的變形，使表達式中含有兩根之和的形式；）

＝2020 2（a b）﹣3

＝2020 2×2﹣3＝2021

例2、一個直角三角形的兩條直角邊的長度恰好是方程2x2－8x＋7＝0的兩個根，則這個直角三角形的斜邊長是 .

例4、已知關于x的方程x2-4x k-1=0的兩根之差等于6，那麼k　 　．

解：設方程的兩根為a、b，

∴a b=4 , ab = k-1

（a﹣b）2＝（a b）2﹣4ab = 42 -4(k-1)=36

解得：k=-4

例5、設m、n是一元二次方程x2-2018x 1=0的兩個實數根，則代數式

2017m2 2018n2-2018n-2017×20182 的值為（ ）

解：由已知得m n = 2018 , mn=1（先求出方程兩個根的和與積）

m2 n2 =(m n)2 -2mn = 20182 -2 （利用和與積化簡高次項為常數）

∴2017m2 2018n2-2018n-2017×20182 （對所求代數表達式進行适當的變形）

= 2017(m2 n2) n2 -2018n-2017×20182

= 2017( 20182 -2)-1-2017×20182

= -4035

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