物理和數學本來就是相輔相成的，紮實的數學功底對物理的提升是相當大的。數學中的微積分對于解決物理問題有其先天優勢。2016年物理競賽大綱中明确要求了微積分初步及其應用，那麼學習微積分最重要的是理解其思想，其次是計算。本文詣在用通俗易懂的語言、生動形象的例子幫助高中生理解、掌握微積分，并且會進行簡單的計算。

微積分的思想兩大基礎是：函數、極限

一、函數

1.1 數學上函數的定義：給定一個數集A，假設其中的元素為x。現對A中的元素x施加對應法則f，記作f（x），得到另一數集B。假設B中的元素為y。則y與x之間的等量關系可以用y=f（x）表示。

那麼在物理學領域對應的函數概念是什麼呢？

物理學中，在課本上經常看到一些物理公式、解題時經常列一些方程等等，其本質就是函數。數學上，函數可以描述x和y之間的關系；同理，物理上的公式（方程）也可以描述兩個物理量之間的關系。

例如：

其實物理公式（方程）本質就是就是函數，用來描述物理量之間的關系；首先我們要扭轉一個觀念，我們在平常解題的習慣中認為方程是針對的某一時刻、某一點或者某個狀态，那是狹義的。方程本來是描述的整個物理過程（特殊情況除外），隻有帶入具體數據時，才是描述的某一個特定點或狀态。

例如：在下圖中，函數都是描述的一條直線，而不是一個點。

1.2 函數概念理解之後，我們來看積分對象：微分方程

如果想使用微積分解決問題，首先要列出微分方程，然後對微分方程進行積分。

那什麼是微分方程呢？

我們之前說過，方程的本質就是函數，數學上定義微分方程：指含有未知函數及其導數的關系式。物理上就是含有微分變量的方程（也可以理解為含有微分變量的函數）。

例如 速度：dx=vdt

物理角度：無限小的一段位移dx，我們可以認為是勻速運動，經過很短的時間dt，對應的速度就是v。數學角度：x是關于時間的t的函數，等式左邊對因變量x求導，等式右邊對自變量t求導。另外，dx=vdt可以表示整個物理過程中的速度，當題中已知速度關于時間的具體表達式時，我們就可以對其進行積分求解，進而求出位移x關于時間t的表達式。

同理加速度：dv=adt

二、極限

2.1 數學中的“極限”指：某一個函數中的某一個變量，此變量在變大（或者變小）的永遠變化的過程中，逐漸向某一個确定的數值A不斷地逼近而“永遠不能夠重合到A”。

例如函數：y=arctanx，逐漸逼近π/2，但是又不等于π/2。

2.2 物理中通常涉及的到是某個物理量達到無窮大量時，對應函數的極限。例如萬有引力，當r→∞時，萬有引力趨于零。另外還有一個概念，無窮小量，這個在處理近似問題時會經常用到。我們在利用無窮小量處理近似問題時經常有這樣的困惑：那些量可以舍去，那些量不可以舍去？怎麼判斷？在解決這個問題時，我們先引入一個概念高階小量。無窮小量二次及二次以上的量都稱為高階小量。在做近似處理時，情況一：式子不含常量時，把高階小量舍去，保留一階的無窮小量；情況二：式子含常量時，舍去無窮小量。

例如：

其中 ri-r(i-1)=△x， △x趨于0（即無窮小量），很多人不知道該處理。其實這裡就是舍去含有無窮小量項，用的熟練以後可以直接使用，接下來我們進行簡單推導：

到這裡已經很清楚了，含有△x的項都需要舍去（因為有限量乘以無窮小量還是無窮小量，仍然趨于零）。這樣原式求和就變得很簡單了。

三、用微積分解決物理問題的一般步驟

1. 建立适當坐标系（本質參考系的選取）

坐标系的選取直接關系到積分的難易。

2. 建立微分表達式

通常我們理解的物理方程可以描述物理過程，同樣微分方程也可以描述物理過程。有的可以直接建立微分表達式（容易）；有的不能直接建立微分表達式（困難）；如何利用已知條件建立的微分表達式？本質是找到積分變量與求解變量之間的微分表達式。

3. 确定積分上下限

定積分的上下限和物理過程中的邊界條件有關系，有時候物理問題中明确已知邊界條件，有時候則需要自己根據已知條件、或者物理過程的限制進行确定。不定積分根據邊界條件确定常數。

4. 積分計算結果

純數學計算，掌握常見函數積分和常規方法即可，複雜可以對應查積分表。

四、不同模塊的實例來學習微積分的應用

運動學篇：

兩邊積分就可以求出x關于t的方程，利用t=0時，x=0的邊值條件确定常數C。對x（t）求一次導得到速度與時間的關系式；求二次導得到加速度與時間的關系。

解：以地面為參考系，以導彈發射點為原點，導彈與飛行物初始位置連線方向為x方向，如圖建立直角坐标系。我們任取軌迹上一點A（x，y），則有：

這部分主要是在尋找dx和dy之間的關系，建立微分表達式，本例題幾乎涵蓋了常見的使用方法；有人質疑①式不是已經有dx和dy之間的關系式，但是三角函數不是已知量，且θ是随x，y變化的量不能直接積分。

微分方程積分求解過程如下（積分二次微分方程）：

所以導彈的軌迹方程為：

（未完待續.....）

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