本文解釋了什麼是極點和零點，并讨論了傳遞函數極點和零點與模拟濾波器電路的幅度和相位特性相關的方式。

在上一篇文章中，我提出了兩種标準方法來為一階RC低通濾波器制定s域傳遞函數。讓我們簡要回顧一些基本概念。

a、傳遞函數在數學上表示濾波器的頻域輸入到輸出的行為。

b、我們可以用變量s來表示傳遞函數，它代表複數頻率，當需要計算特定頻率的幅度和相位響應時，我們可以用jω代替s。

c、傳遞函數的标準化形式就像一個模闆，可以幫助我們快速确定濾波器的定義特征。

d、對标準化一階傳遞函數的數學處理使我們能夠證明濾波器的截止頻率是幅度減小3dB并且相位偏移-45°的頻率。

假設我們有一個傳遞函數，其中變量s出現在分子和分母中。在這種情況下，s的至少一個值将使傳遞函數的分子為零，并且至少一個s值将使傳遞函數的分母為零。使分子為零的值是傳遞函數的零點（Zeros），并且使分母為零的值是傳遞函數的極點（Poles）。

讓我們考慮以下示例：

在這個系統中，我們在s = 0處有一個零點（Zero），在s =-ωO處有一個極點（Pole）。

極點和零點定義了濾波器的特征。 如果您知道極點和零點的位置，則可以獲得有關系統如何響應不同輸入頻率的信号的大量信息。

波特圖（Bode plot）提供了極點或零點與系統輸入 - 輸出行為之間關系的直觀可視化圖形。

幅度影響

極點（Pole）頻率對應于拐角頻率（corner frequency ），在該拐角頻率（corner frequency ）處，幅度曲線的斜率減小20dB /十倍頻程，并且零點（Zero）對應于斜率增加20dB /十倍頻程的拐角頻率。 在下面的示例中，波特圖（Bode plot）是系統的幅度響應的近似值，該系統的極點為10^2弧度/秒（rad / s），零點為10^4 rad / s。

相位影響

在上一篇文章中，我們看到低通濾波器的相位響應的數學原點是反正切函數。如果我們使用反正切函數（更具體地，負反正切函數）來生成相位（以度為單位）與對數頻率的關系圖，我們最終得到以下形狀：

由極點産生的相移的波特圖（Bode plot）近似是表示相移的-90°的直線。該線以極點頻率為中心，并且具有-45度每十倍頻程的斜率，這意味着向下傾斜的線在極點頻率之前十倍開始并且在極點頻率之後十倍結束。除了線具有正斜率之外，一個零點的影響是相同的，使得總相移是 90°。

以下示例表示一個系統，其極點為10^2 rad / s，零點為10^5 rad / s。

隐藏的零點

如果您已閱讀上一篇文章，您就會知道低通濾波器的傳遞函數可以寫成如下：

這個系統有零點嗎？如果我們應用本文前面給出的定義，我們将得出結論，它沒有零點 - 變量s沒有出現在分子中，因此s的值不會導緻分子等于零。

然而事實證明，它确實有一個零點，為了理解為什麼，我們需要考慮傳遞函數極點和零點的更一般化的定義：零點（z）出現在導緻傳遞函數的s值處減少到零，極點（p）出現在s的值，導緻傳遞函數趨向于無窮大：

一階低通濾波器的值是否為導緻T（s）→0的s？是的，确實如此，即s =∞。因此，一階低通系統在ωO處具有極點，在ω=∞處具有零點。

我将嘗試在ω=∞處提供零的物理解釋：它表示濾波器不能繼續“永久”衰減（其中“永遠”指的是頻率，而不是時間）。如果您設法創建一個輸入信号，其頻率繼續增加直到“達到”無窮大的rad / s處，則s =∞時的零點會使濾波器停止衰減，即幅度響應的斜率從-20 dB /十倍頻程增加到0 dB /十倍頻程。

我們已經探索了傳遞函數極點和零點的基本理論和實踐方面，并且我們已經看到我們可以在濾波器的極點和零頻率及其幅度和相位響應之間建立直接關系。而在前面的兩篇文章中，我們研究了一階高通濾波器和一階高通濾波器的傳遞函數，敬請關注！