1. 基本問題說明

“求函數定義域”是最廣泛使用的基礎應用（沒有之一，每次考試都必定會涉及），因為一般每個函數都要先明确的定義域。

但是在大考中，該基礎應用一般不會顯式、獨立地出題（即一般不會出隻求定義域的題），往往會在題目中作為限制條件、考查細節（特别是常見的易錯點）。

因此，求解問題前，能否正确地明确或求出定義域是正确解題的必要條件。

2. 解決問題的一般方法

1) 原則：隻要遇到函數，就先确定其定義域的狀況。

2) 易錯點：有關定義域（特别是隐式）的限制或細節（邊界）往往是易錯點。務必養成細心和确認定義域的意識和習慣，否則一不小心就掉“坑”裡了。

3) 一般方法：

a) 求常見函數定義域時應考慮的問題（高中階段）

b) 求複合函數定義域時應考慮的問題

① 已知f(x)的定義域，求解f(φ(x))的定義域

f(x)的定義域是D，f(φ(x))的定義域就是使得φ(x)∈D的所有x的集合

② 已知f(φ(x))的定義域，求解f(x)的定義域

f(φ(x))的定義域是D，f(x)的定義域就是 在D上的值域

③ 已知f[g(x)]定義域為C,求f[h(x)]的定義域

實質是已知x的範圍為C,以此先求出g(x)的範圍（即f(x)的定義域）；然後将其作為h(x)的範圍,以此再求出x的範圍.

c) 求解一般方法：根據上述約束和/或限制，可列出不等式組，然後再求解。

3. 典型示例

例1、求下列函數的定義域

(1) y=√(2x-x^2 )

(2) y=1/√(|x|-x)

(3) y=1/√(1-x) (x 1) ^0

解：（1）依題意可得：

2x-x2≥0，

解得：0≤x≤2，

所以函數的定義域為{x|0≤x≤2}。

（2）依題意可得：

|x|-x>0，

解得：x<0，

所以函數的定義域為{x|x<0}。

（3）依題意可得：

1-x>0 且 x 1≠0，

解得：x<1且x≠-1，

所以函數的定義域為{x|x<1且x≠-1}。

例2設函數f(x)的定義域為[0,1]，則函數f(x^2)的定義域為___；函數f(√x-2)的定義域為___。

解：f(x)的定義域為[0,1],即：

0≤x≤1，

函數f(x^2)的定義域為：

0≤x^2≤1，

x的取值為 [-1,1]，所以函數f(x^2)的定義域為[-1,1]，

函數f(√x-2)的定義域為 ：

0≤√x-2≤1，

x的取值為 [4,9]，所以函數f(√x-2)的定義域為[4,9]。

例3已知函數f(x)的定義域為 [1,1]，且函數F(x)=f(x m)-f(x-m)的定義域存在，求實數m的取值範圍。

解：由題意，可得：

-1≤x-m≤1且-1≤x m≤1，

解得：

m-1≤x≤1 m （1）,

且 -1-m≤x≤1-m, （2），

當m=0時，-1≤x≤1，m=0滿足題意,

當m>0時，為了定義域存在，以上(1)，(2)兩式必須有交集，即：

m-1≤1-m, 且m>0， 得0<m≤1,

當m<0時，同理要滿足：

-1-m≤1 m, 且m<0， 得-1≤m<0,

綜上可知，所求m的取值範圍為：-1 ≤ m ≤ 1。

講解：

① 正确理解并掌握複合函數定義域求法；

② 當出現參數時，要分類讨論。

例4 某工廠統計資料顯示，産品次品率p與日産量x(件) (x∈N, 1≤x<99)的關系符合如下規律：

又知每生産一件正品盈利100元，每生産一件次品損失100元。求該廠日盈利額T（元）關于日産量x（件）的函數?

解：由題意：當日産量為x件時，次品率為：

P = 2/(100-x)，

則次品個數為：

2x/(100-x)，

正品個數為：

x- 2x/(100-x)，

所以

T=100×[x-2x/(100-x)]-100×2x/(100-x)，

即

T=100[x-4x/(100-x)]，（x∈N，且1≦x≦89)。

講解：

① 函數實際應用中，函數的定義域要根據實際情況來求解；

② 要注意實際應用中實際意義及其可能約束，如豬的頭數是整數、邊長的長度是正數等。

例5若函數f(x)=log2^(mx^2 mx 1)的定義域為R，則m的取值範圍是______.

解：∵函數f(x)=log2^(mx2 mx 1)的定義域為R，

(提示：定義域的逆向應用)

∴mx^2 mx 1＞0在R上恒成立，

（1）當m=0時，有1＞0在R上恒成立，故符合條件；

（2）當m≠0時，有：

m>0，

且 =m^2-4m<0，

解得：0<m<4，

綜上，實數m的取值範圍是[0，4）。

例6已知實數a≠0，x<1時，函數f(x)=2x a；x≥1時，函數f(x)=-x-2a。若f(1-a)=f(1 a)，則a的值為______。

解：當a>0時，1-a<1，1 a>1，

∴ 2(1-a) a = -1-a-2a，解得a=-3/2 < 0，舍去。

當a＜0時，1-a＞1，1 a＜1，

∴ -1 a-2a = 2 2a a，解得a=-3/4，

故所求a的值為-3/4。

講解：

① 提示：本題為定義域的逆向應用

② 一般要求：快捷、準确地理解函數表達式及其特征和意義。

③ 兩個提示

a) 這裡是分段函數，而分段函數在分段點附近需要多留意；

b) 有參數時，要進行分類讨論。

④ 思考：為何a的讨論是以0作為分界點呢？