1. 基本問題說明
“求函數定義域”是最廣泛使用的基礎應用(沒有之一,每次考試都必定會涉及),因為一般每個函數都要先明确的定義域。
但是在大考中,該基礎應用一般不會顯式、獨立地出題(即一般不會出隻求定義域的題),往往會在題目中作為限制條件、考查細節(特别是常見的易錯點)。
因此,求解問題前,能否正确地明确或求出定義域是正确解題的必要條件。
2. 解決問題的一般方法
1) 原則:隻要遇到函數,就先确定其定義域的狀況。
2) 易錯點:有關定義域(特别是隐式)的限制或細節(邊界)往往是易錯點。務必養成細心和确認定義域的意識和習慣,否則一不小心就掉“坑”裡了。
3) 一般方法:
a) 求常見函數定義域時應考慮的問題(高中階段)
b) 求複合函數定義域時應考慮的問題
① 已知f(x)的定義域,求解f(φ(x))的定義域
f(x)的定義域是D,f(φ(x))的定義域就是使得φ(x)∈D的所有x的集合
② 已知f(φ(x))的定義域,求解f(x)的定義域
f(φ(x))的定義域是D,f(x)的定義域就是 在D上的值域
③ 已知f[g(x)]定義域為C,求f[h(x)]的定義域
實質是已知x的範圍為C,以此先求出g(x)的範圍(即f(x)的定義域);然後将其作為h(x)的範圍,以此再求出x的範圍.
c) 求解一般方法:根據上述約束和/或限制,可列出不等式組,然後再求解。
3. 典型示例
例1、求下列函數的定義域
(1) y=√(2x-x^2 )
(2) y=1/√(|x|-x)
(3) y=1/√(1-x) (x 1) ^0
解:(1)依題意可得:
2x-x2≥0,
解得:0≤x≤2,
所以函數的定義域為{x|0≤x≤2}。
(2)依題意可得:
|x|-x>0,
解得:x<0,
所以函數的定義域為{x|x<0}。
(3)依題意可得:
1-x>0 且 x 1≠0,
解得:x<1且x≠-1,
所以函數的定義域為{x|x<1且x≠-1}。
例2設函數f(x)的定義域為[0,1],則函數f(x^2)的定義域為___;函數f(√x-2)的定義域為___。
解:f(x)的定義域為[0,1],即:
0≤x≤1,
函數f(x^2)的定義域為:
0≤x^2≤1,
x的取值為 [-1,1],所以函數f(x^2)的定義域為[-1,1],
函數f(√x-2)的定義域為 :
0≤√x-2≤1,
x的取值為 [4,9],所以函數f(√x-2)的定義域為[4,9]。
例3已知函數f(x)的定義域為 [1,1],且函數F(x)=f(x m)-f(x-m)的定義域存在,求實數m的取值範圍。
解:由題意,可得:
-1≤x-m≤1且-1≤x m≤1,
解得:
m-1≤x≤1 m (1),
且 -1-m≤x≤1-m, (2),
當m=0時,-1≤x≤1,m=0滿足題意,
當m>0時,為了定義域存在,以上(1),(2)兩式必須有交集,即:
m-1≤1-m, 且m>0, 得0<m≤1,
當m<0時,同理要滿足:
-1-m≤1 m, 且m<0, 得-1≤m<0,
綜上可知,所求m的取值範圍為:-1 ≤ m ≤ 1。
講解:
① 正确理解并掌握複合函數定義域求法;
② 當出現參數時,要分類讨論。
例4 某工廠統計資料顯示,産品次品率p與日産量x(件) (x∈N, 1≤x<99)的關系符合如下規律:
又知每生産一件正品盈利100元,每生産一件次品損失100元。求該廠日盈利額T(元)關于日産量x(件)的函數?
解:由題意:當日産量為x件時,次品率為:
P = 2/(100-x),
則次品個數為:
2x/(100-x),
正品個數為:
x- 2x/(100-x),
所以
T=100×[x-2x/(100-x)]-100×2x/(100-x),
即
T=100[x-4x/(100-x)],(x∈N,且1≦x≦89)。
講解:
① 函數實際應用中,函數的定義域要根據實際情況來求解;
② 要注意實際應用中實際意義及其可能約束,如豬的頭數是整數、邊長的長度是正數等。
例5若函數f(x)=log2^(mx^2 mx 1)的定義域為R,則m的取值範圍是______.
解:∵函數f(x)=log2^(mx2 mx 1)的定義域為R,
(提示:定義域的逆向應用)
∴mx^2 mx 1>0在R上恒成立,
(1)當m=0時,有1>0在R上恒成立,故符合條件;
(2)當m≠0時,有:
m>0,
且 =m^2-4m<0,
解得:0<m<4,
綜上,實數m的取值範圍是[0,4)。
例6已知實數a≠0,x<1時,函數f(x)=2x a;x≥1時,函數f(x)=-x-2a。若f(1-a)=f(1 a),則a的值為______。
解:當a>0時,1-a<1,1 a>1,
∴ 2(1-a) a = -1-a-2a,解得a=-3/2 < 0,舍去。
當a<0時,1-a>1,1 a<1,
∴ -1 a-2a = 2 2a a,解得a=-3/4,
故所求a的值為-3/4。
講解:
① 提示:本題為定義域的逆向應用
② 一般要求:快捷、準确地理解函數表達式及其特征和意義。
③ 兩個提示
a) 這裡是分段函數,而分段函數在分段點附近需要多留意;
b) 有參數時,要進行分類讨論。
④ 思考:為何a的讨論是以0作為分界點呢?
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