1、已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中點，AD、BC的延長線交MN于E、F．求證：∠DEN＝∠F．

如下圖連接AC并取其中點Q，連接QN和QM，

所以可得∠QMF=∠F，

∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM，

從而得出∠DEN＝∠F。

2、如圖，分别以△ABC的AC和BC為一邊，在△ABC的外側作正方形ACDE和正方形CBFG，點P是EF的中點．求證：點P到邊AB的距離等于AB的一半．

過E,C,F點分别作AB所在直線的高EG，CI，FH。

可得PQ=（EG FH）/2

由△EGA≌△AIC，

可得EG=AI，由△BFH≌△CBI，可得FH=BI。

從而可得PQ=AI BI/2=AB/2,從而得證。

3、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE與CD相交于F．求證：CE＝CF．

順時針旋轉△ADE，到△ABG，連接CG.

由于∠ABG=∠ADE=900 450=1350

從而可得B，G，D在一條直線上，

可得△AGB≌△CGB。

推出AE=AG=AC=GC，可得△AGC為等邊三角形。

∠AGB=300，既得∠EAC=300，

從而可得∠A EC=750。

又∠EFC=∠DFA=450 300=750.

可證：CE=CF。

4、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直線EC交DA延長線于F．

求證：AE＝AF．

連接BD作CH⊥DE，可得四邊形CGDH是正方形。

由AC=CE=2GC=2CH，

可得∠CEH=300，

所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150，

又∠FAE=900 450 150=1500，

從而可知道∠F=150，

從而得出AE=AF。

5、平行四邊形ABCD中，設E、F分别是BC、AB上的一點，AE與CF相交于P，且AE＝CF．求證：∠DPA＝∠DPC．

過D作AQ⊥AE ，AG⊥CF ，

由S∆ADE=□ABCD/2=S∆DFC,可得：

AE•PQ/2=AE•PQ/2,由AE=FC.

可得DQ=DG，

可得∠DPA＝∠DPC（角平分線逆定理）。

6、如圖，△ABC中，∠C為直角，∠A=30°，分别以AB、AC為邊在△ABC的外側作正△ABE與正△ACD，DE與AB交于F。求證：EF=FD。

證明：過D作DG//AB交EA的延長線于G，

可得∠DAG=30°

∵∠BAD=30°＋60°=90°∴∠ADG=90°

∵∠DAG=30°=∠CAB，AD=AC

∴Rt△AGD≌Rt△ABC∴AG=AB，∴AG=AE

∵DG//AB∴EF//FD

7、如圖，正方形ABCD中，E、F分别為AB、BC的中點，EC和DF相交于G，連接AG，求證：AG=AD。

證明：作DA、CE的延長線交于H

∵ABCD是正方形，E是AB的中點

∴AE=BE，∠AEH=∠BEC,∠BEC=∠EAH=90°

∴△AEH≌△BEC（ASA）

∴AH=BC，AD=AH

又∵F是BC的中點

∴Rt△DFC≌Rt△CEB∴∠DFC=∠CEB

∴∠GCF＋∠GFC=∠ECB＋∠CEB=90°

∴∠CGF=90°∴∠DGH=∠CGF=90°

∴△DGH是Rt△

∵AD=AH∴AG=1/2DH=AD

8、已知在三角形ABC中,AD是BC邊上的中線,E是AD上的一點,且BE=AC,延長BE交AC與F,求證AF=EF

證明：如圖

連接EC,取EC的中點G,AE的中點H，

連接DG,HG

則：GH=DG

所以：角1=∠2，

而∠1=∠4，∠2=∠3=∠5

∴∠4=∠5，∴AF=EF.