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中考數學題一般情況能不能做完
中考數學題一般情況能不能做完
更新时间:2025-04-02 18:58:15

中考數學題一般情況能不能做完(新教材已經删去這條定理)1

2020中考數學貼心輔導每日一題(30)

2019年江西中考數學第19題

如圖1,AB為半圓的直徑,點O為圓心,AF為半圓的切線,過半圓上的點C作CD∥AB交AF于點D,連接BC.

(1)連接DO,若BC∥OD,求證:CD是半圓的切線;

(2)如圖2,當線段CD與半圓交于點E時,連接AE,AC,判斷∠AED和∠ACD的數量關系,并證明你的結論.

中考數學題一般情況能不能做完(新教材已經删去這條定理)2

中考數學題一般情況能不能做完(新教材已經删去這條定理)3

中考數學題一般情況能不能做完(新教材已經删去這條定理)4

(1)

分析

這道題太經典了.一般地,若要證明過圓上某點的直線是圓的切線,可以先嘗試連接這點與圓心.

如答圖1,連接OC.

中考數學題一般情況能不能做完(新教材已經删去這條定理)5

∵CD∥AB,且BC∥OD,

∴四邊形BODC是平行四邊形.

∴CD=OB=OA.

∵CD∥OA.

∴四邊形OADC是平行四邊形(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形).

∵AD是切線,

∴∠OAD=90º

(圓的切線垂直于過切點的半徑).

∴∠OCD=∠OAD=90º

(平行四邊形的對角相等).

∴CD是切線(經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線).

(2)如答圖2,連接BE.

中考數學題一般情況能不能做完(新教材已經删去這條定理)6

∵CD∥AB,∴∠CDA=∠OAD=90º.

∴∠EAD+∠AED=90º.

∵AB是直徑,

∴∠BEA=90º.

∴∠ABE+∠EAB=90º.

又∵EAB ∠EAD=90º,

∴∠ABE=∠EAD(同角的餘角相等).

又∵∠ABE=∠ACD(同弧所對的圓周角相等),

∴∠ACD+∠AED=90º(等量代換).

評析

第(2)小題屬于結論開放型,這種題目在中考中時有出現.

解題的關鍵是證明∠EAD=∠ACE,實際上就是證明弦切角定理——弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角.

題外話

在舊教材中,弦切角定理是一條非常重要的定理.新教材删去了有關“弦切角”的内容,應該是為了減輕學生的負擔吧!這道題實際上是要求考生證明弦切角定理,這合适嗎?

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