中考數學題一般情況能不能做完-tft每日頭條

中考數學題一般情況能不能做完（新教材已經删去這條定理）1

2020中考數學貼心輔導每日一題（30）

2019年江西中考數學第19題

如圖1，AB為半圓的直徑，點O為圓心，AF為半圓的切線，過半圓上的點C作CD∥AB交AF于點D，連接BC．

（1）連接DO，若BC∥OD，求證：CD是半圓的切線；

（2）如圖2，當線段CD與半圓交于點E時，連接AE，AC，判斷∠AED和∠ACD的數量關系，并證明你的結論．

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（1）

分析

這道題太經典了.一般地，若要證明過圓上某點的直線是圓的切線，可以先嘗試連接這點與圓心.

如答圖1，連接OC．

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∵CD∥AB，且BC∥OD，

∴四邊形BODC是平行四邊形．

∴CD＝OB＝OA．

∵CD∥OA．

∴四邊形OADC是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）．

∵AD是切線，

∴∠OAD＝90º

（圓的切線垂直于過切點的半徑）.

∴∠OCD＝∠OAD＝90º

（平行四邊形的對角相等）．

∴CD是切線(經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線)．

（2）如答圖2，連接BE．

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∵CD∥AB，∴∠CDA＝∠OAD=90º．

∴∠EAD＋∠AED＝90º．

∵AB是直徑，

∴∠BEA＝90º．

∴∠ABE＋∠EAB＝90º．

又∵EAB ∠EAD=90º,

∴∠ABE=∠EAD(同角的餘角相等).

又∵∠ABE＝∠ACD(同弧所對的圓周角相等)，

∴∠ACD＋∠AED＝90º（等量代換）．

評析

第（2）小題屬于結論開放型,這種題目在中考中時有出現.

解題的關鍵是證明∠EAD=∠ACE,實際上就是證明弦切角定理——弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角.

題外話

在舊教材中，弦切角定理是一條非常重要的定理.新教材删去了有關“弦切角”的内容，應該是為了減輕學生的負擔吧！這道題實際上是要求考生證明弦切角定理，這合适嗎？