我的抽象代數系列課程先從一個智力遊戲說起，可能有的人玩過這個遊戲，這是節數學科普課，默認讀者沒有學過群論，這個遊戲中包含的置換的思想也就是群論的雛形，人們在研究了置換之後于是發明了群這個結構。這個遊戲就是數字華容道，有一個正方形的外框，裡面有十五個小正方形滑塊，下圖中#井号表示的是空。由于有了這個空，滑塊就可以滑動，遊戲的目标是讓打亂的數字通過滑塊移動最終按順序排列起來。很多人小時候玩過滑塊拼圖遊戲，原理跟這個是一樣的，有人通過摸索會掌握這個遊戲的竅門，現在我從數學上來探究這個數字華容道，當你掌握了數學原理，你甚至可以自己創造讓某個滑塊從A點移動到B點而其他保持不變的公式。

可以看到，如果按圖表所示，讓3和1交換，15和2交換...，這樣能夠複原數字華容道，可是按照規則，滑塊隻能滑動，把這個規則抽象出來就是，隻能#和相鄰的數字交換，每一個步驟必定是有#參與。其實圖表所示的就是一個置換。我們中學就學過函數，置換可以看作特殊的函數，定義域的元素和值域元素相同，而且都是有限的。

3和1交換用置換的寫法就是（1 3），隻有兩個元素位置改變稱作對換。玩遊戲的時候每一步相當于井号和相鄰的數字交換，如（# a1），（# a2），完成兩步相當于兩個對換相乘，置換乘法的定義本質是函數的複合。

例如第一步（# a1），第二步（# a2），兩步之後的結果，就是（# a2）（# a1），假如将（# a1）看作f(x)，（# a2）看作g(x),（# a2）（# a1）的意思就是g[f(x)]，也就是函數的合成。考慮（# a2）（# a1）中元素的變化，#在第一步變成a1，在第二步沒有變；a1在第一步中變成#，第二步中由#變成a2；a2在第一步中沒變，在第二步中變成#。所以

（# a2）（# a1）=（# a1 a2），這是一個三階循環置換。所以上面的置換不能寫成（3 1）（15 2）（4 3）（12 4）（10 5）（11 6）（1 7）（2 8）（8 9）（5 10）（13 11）（9 12）（6 13）（7 14）（14 15），那上表的置換應該怎麼表示呢？

置換的完全分解是指将置換分解為不相交的循環置換，并且含有每個1-循環置換。這個置換完全分解就是（1 7 14 15 2 9 12 4 3）（5 10）（6 13 11）（8）（#）

要赢得這個遊戲，就是要找到（# a(n)）（# a(n-1)）...（# a2）（# a1）這樣的序列，使得（# a(n)）（# a(n-1)）...（# a2）（# a1）=（1 7 14 15 2 9 12 4 3）（5 10）（6 13 11）（8）（#）

在置換理論裡有個定理，是說若一個置換能夠表示成偶數個對換的乘積，那麼它隻能被表示成偶數個對換的乘積；若一個置換能夠表示成奇數個對換的乘積，那麼它隻能被表示成奇數個對換的乘積。這個定理的證明此文就不涉及了，因為需要很多定義和定理的鋪墊。後面講抽象代數課程時會循序漸進地把重要的定理依次證明。這個遊戲的起始狀态和複原的狀态相比#位置沒有發生變化，遊戲的每一步#都在和相鄰數字交換，可以肯定的是隻有經過偶數步#才能位置不變，假如向上有N步，一定向下也會有N，才能保證#位置不變，向下向左向右同理。（1 7 14 15 2 9 12 4 3）（5 10）（6 13 11）（8）（#）這個置換，符号=（-1）^(16-5)=-1是一個奇置換，所以這個圖示的這種初始狀态，要複原是不可能，别再傻傻的移動滑塊了，縱使嘗試億萬次還是不可能成功。這就是數學的力量，它能讓你真正地玩透這個遊戲。