用待定系數法求二次函數的解析式

【學習目标】

1. 能用待定系數法列方程組求二次函數的解析式；

2. 經曆探索由已知條件特點，靈活選擇二次函數三種形式的過程，正确求出二次函數的解析式，

二次函數三種形式是可以互相轉化的．

【知識點梳理】

1、用待定系數法求二次函數解析式

① 二次函數解析式常見有以下幾種形式 ：

（1）一般式：

（2）頂點式：

（3）交點式：

② 确定二次函數解析式常用待定系數法，用待定系數法求二次函數解析式的步驟如下：

第一步，

設：先設出二次函數的解析式，

如 y = ax2 bx c 或 y = a（x - h）2 k 或 y = a（x - x1）（x - x2），其中 a ≠ 0；

第二步，

代：根據題中所給條件，代入二次函數的解析式中，得到關于解析式中待定系數的方程(組)；

第三步，

解：解此方程或方程組，求待定系數；

第四步，

還原：将求出的待定系數還原到解析式中．

注：

在設函數的解析式時，一定要根據題中所給條件選擇合适的形式：

① 當已知抛物線上的三點坐标時，可設函數的解析式為 y = ax2 bx c ；

② 當已知抛物線的頂點坐标或對稱軸或最大值、最小值時．

可設函數的解析式為 y = a（x - h）2 k；

③ 當已知抛物線與x軸的兩個交點 ( x1，0 )，( x2，0 )時，

可設函數的解析式為 y = a（x - x1）（x - x2）.

【典型例題】

類型一、用待定系數法求二次函數解析式

【例題1】已知抛物線 y = ax2 bx c （a ≠ 0） 經過 A，B，C 三點，當時 x ≥ 0 時，

其圖象如圖1所示 . 求抛物線的解析式，寫出頂點坐标 .

【答案與解析】

注：

這道題的一個特點是題中沒有直接給出所求抛物線經過的點的坐标，需要從圖象中獲取信息.

已知圖象上三個點時，通常應用二次函數的一般式列方程求解析式.

要特别注意：如果這道題是求 “圖象所表示的函數解析式”，那就必須加上自變量的取值範圍 x ≥ 0 .

【例題2】一條抛物線 y = 1/4 x2 mx n 經過點 （0 , 3/2）與 （4 , 3/2）.

求這條抛物線的解析式 .

【答案與解析】

注：

解析式中的 a 值已經知道，隻需求出 m , n 的值 .

已知條件給出了兩個點 , 因此可以從二次函數的一般式入手列方程組解答 .

還可以從所給兩點（0 , 3/2）與 （4 , 3/2）的特征入手：

這兩點關于抛物線的對稱軸對稱，因此可知對稱軸是直線 x = 2，這樣又可以從抛物線的頂點式入手.

當點 M（x1, y1）和 N（x2 , y2）都是抛物線上的點時，

若 y1 = y2，則對稱軸方程為 x = 1/2（x1 x2），這一點很重要也很有用.

【例題3】已知抛物線 y = ax2 bx c （a ≠ 0） 的頂點坐标為（－1，4），

與 x 軸兩交點間的距離為 6，求此抛物線的函數關系式 .

【答案與解析】

因為頂點坐标為（－1，4），所以對稱軸為 x = -1，

又因為抛物線與 x 軸兩交點的距離為 6，

所以兩交點的橫坐标分别為：x1 = -1 - 3 ，x2 = -1 3， 則兩交點的坐标為（-4，0）、（2，0）；

求函數的函數關系式可有兩種方法：

注：在求函數的解析式時，要根據題中所給條件選擇合适的形式.

類型二、用待定系數法解題

【例題4】已知二次函數的圖象如圖所示，根據圖中的數據，

（1）求二次函數的解析式；

（2）設此二次函數的頂點為 P，求 △ABP 的面積．

【答案與解析】

注：

此題主要考查二次函數圖象的性質，對稱軸及頂點坐标，

另外巧妙設函數的解析式，從而來減少計算量.