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高數能解決哪些問題
高數能解決哪些問題
更新时间:2025-04-03 11:19:10

#頭條創作挑戰賽#

數學是幫助人們了解這個世界的一種工具,而衆多的數學工具中,高數無疑是最合适的一種。因為對一部分人來說,它難但又不至于太難,一般有高中文化程度的人,都能看懂。對另外一部分人來說,它容易但也不至于太容易,無論你的水平有多高,都還是要花一點時間和精力去探究思考,才能想明白的。

高數能解決哪些問題(高數問題到底能有多簡單)1

比如下面這道關于開覆蓋到底是有限的開覆蓋,還是無限的開覆蓋的問題,多少就還是有點傷腦筋的,不過也不至于太傷腦筋,看懂了,你的智力水平,就有可能得到一定程度的提升。

高數能解決哪些問題(高數問題到底能有多簡單)2

設H={(1/(n 2), 1/n)|n=1,2,…}是一個無限開區間集,問:

(1)H能否覆蓋(0,1)?

(2)能否從H中取出有限個開區間覆蓋(0,1/2)?

(3)能否從H中取出有限個開區間覆蓋(1/100,1)?

注:所謂覆蓋,就是被覆蓋的點集中,每一個點都包含在覆蓋住它的區間集的至少一個區間中。而這個區間集通常取的是開區間集,因此也稱為開覆蓋。如果這個開區間集中的開區間形式的元素是有限的,那麼就稱為有限開覆蓋。如果這個開區間集中的開區間元素是無限的,那麼就稱為無限開覆蓋。這個問題細想,其實就是一個複雜的幼兒園問題。

高數能解決哪些問題(高數問題到底能有多簡單)3

解:(1)對任意x∈(0,1), 存在n, 使1/(n 2)<x<1/n, ∴H能覆蓋(0,1).【高數中有很多這樣扯不明白的問題。像是(0,1)和H在做“勇士與烏龜”的賽跑。(0,1)說,我有一個極小的正數x。H就說,放心,我有一個n,使得1/(n 2)比x更小。(0,1)又說,我的x小到比你的1/(n 2)更小。H說,有多小啊?(0,1)說,1/(n 3), 這麼小。H笑着說,就這,我還有一個n 2, 使得1/(n 4)比你的1/(n 3)更小。然後兩者就這樣沒完沒了地扯下去,不論x有多小,H總能找到一個比它小的數覆蓋住它,這就形成了無限開覆蓋。右端點就不需要這麼扯,不論(0,1)說,我有一個多接近1又小于1的x,H都隻要說“我有右端點1”就夠了】

高數能解決哪些問題(高數問題到底能有多簡單)4

(2)對H中任意有限個開區間,設其中左端點最小為1/(N 2),【由(1)可知,H是(0,1)的無限開覆蓋,是由左端點0造成的,(0,1/2)仍有左端點0,所以隻能是無限開覆蓋。假如H先出牌“1/(N 2)”,那麼(0,1/2)就會說,慢點,我有比它小的】

則當0<x<1/(N 3)<1/2時, 這有限個開區間就不能覆蓋x.【這就是(0,1/2)暫時取得優勢的時候,但不要高興得太早,因為H隻要是一個無限開區間集,它始終就有辦法,奪回這個優勢,取得最終的勝利。隻是這個“最終”到底是什麼時候?那是到天荒地老的時候,進入微觀世界去觀察,1秒大于1億年,别說是你了,宇宙的盡頭都看不到結局】

∴不能從H中取出有限個開區間覆蓋(0, 1/2).【最終就證明了,隻有H是無限開區間集,才能覆蓋住(0,1/2)】

(3)記H’={(1/(n 2), 1/n)|n≤99}, 且(1/3,1)U(1/4,1/2)U…U(1/101,1/99)=(1/101,1),【現在排除了左端點0,那麼H隻要出到比新的左端點1/100小的牌,比如1/101,就有可能實現有限開覆蓋了】

任意x∈(1/100,1)⊂(1/101,1),

∴H能取出有限個開區間覆蓋(1/100,1).【所以不能有限開覆蓋左端點0,不是0本身的問題,是H的能力不夠的問題。所以當你學不好高數的時候,别老是說“高數太難”】

高數能解決哪些問題(高數問題到底能有多簡單)5

怎麼樣?你還敢說這不是複雜化的幼兒園問題嗎?

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