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相似三角形的性質與判定進階題
相似三角形的性質與判定進階題
更新时间:2025-04-04 09:28:44
什麼是相似三角形

對應邊成比例的三角形是相似三角形

相似三角形的判定

①兩個角對應相等的兩個三角形相似(AA)

相似三角形的性質與判定進階題(相似三角形專題)1

②兩邊對應成比例,且夾角相等的兩個三角形相似(SAS)

相似三角形的性質與判定進階題(相似三角形專題)2

③三邊對應成比例的兩個三角形相似(SSS)

相似三角形的性質與判定進階題(相似三角形專題)3

相似三角形的性質

①相似三角形的對應角相等,對應邊成比例

②相似三角形的對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比、對應周長的比都等于相似比

做高、做平分線,依然可以得到2對角相等,通過AA可以得到新的相似,可得高之比等于相似比

做中線,可以得到2對相似邊和一對夾角,通過SAS得新的相似,可得高之比等于相似比。

周長就是三邊之和,周長之比自然就是相似比

③相似三角形的面積比等于相似比的平方

面積=一條邊×這條邊的高,邊之比是相似比,高之比是相似比,面積之比自然是平方比。

相似三角形的應用

通過相似三角形,證明三角形的重心分每一條中線成1:2的兩條線段。

相似三角形的性質與判定進階題(相似三角形專題)4

D、E是中點,求證AO:OE=2:1

連接CE,易得DE//,AD=2DE,平行之後有很多角相等,很容易根據AA來證得△AOD∽△EOC,

所以AO:OE=AD:DE=2

這算是相似三角形的基本應用了,在解決數學問題中,往往借助相似三角形得出線段的比例關系。

相似三角形中的常見圖形

1、‘A型圖’

相似三角形的性質與判定進階題(相似三角形專題)5

DE//BC,可得角相等,很容易通過AA得到△ADE∽△ABC

2、‘ X型圖’

相似三角形的性質與判定進階題(相似三角形專題)6

DE//BC,可得角相等,很容易通過AA得到△ADE∽△ABC

3、‘K型圖’

相似三角形的性質與判定進階題(相似三角形專題)7

‘K型圖’的本質就是利用平角和180°、三角形和180°,你加我,我加他,最後得出等角。2對等角,就可以根據AA得到△ADE∽△ABC

4、母子型(有直角)

相似三角形的性質與判定進階題(相似三角形專題)8

有公共角,有直角,根據AA可以得到大三角形和小三角形分别相似。相似之後,對2個小三角形來說,有兩邊對應成比例,且有夾角180°,根據SAS又可以得到2個小三角形相似。有直角的母子性,有三對相似。

母子型中特别重要的射影定理:

之所以叫射影,可以把CD看成垂直地面的一個杆子,CA是光線,AD是影子,CB是光線,DB是影子,形象、貼切!

這個杆子是公用的,也就是在相似三角形中,有一條邊是公用的,這就有了如下等式:

相似三角形的性質與判定進階題(相似三角形專題)9

AC、BC、CD之所以要平方,是因為它們在自己的相似三角形中,是公共邊。有了這個定理,就可以做到,給2邊求1邊。之所以有3個等式,因為有三組相似!

當然我們還可以通過這個等式,得到兩邊對應成比例,這時候再來一夾角相等,我們也可以得到相似三角形。

所以說射影定理很好、很重要!

5、母子型(普通)

相似三角形的性質與判定進階題(相似三角形專題)10

∠1=∠2,公共角∠C,根據AA得到△ABC∽△BDC.

因為相似隻有一對,所以隻能得到一個等式。

相似三角形的性質與判定進階題(相似三角形專題)11

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