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怎麼求一般三角形的内切圓
怎麼求一般三角形的内切圓
更新时间:2025-04-03 11:29:34

如下圖所示,O為△ABC的内心,即△三内角平分線的交點,

作者寄語:

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怎麼求一般三角形的内切圓(三角形的内切圓)1

S△ABC=S△AOB S△BOC S△AOC=1/2(a b c)r;

怎麼求一般三角形的内切圓(三角形的内切圓)2

當△ABC為直角三角形時,可得:2ab=(a b-c)r;

則r=2ab/(a b-c)

怎麼求一般三角形的内切圓(三角形的内切圓)3

或者,也可以這樣表示:

c=(a-r) (b-r),得r=(a b-c)/2;

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【大顯身手】

已知OA=3,OB=4,AM、OM分别為△AOB的角平分線,AB=5,求點M的坐标。

怎麼求一般三角形的内切圓(三角形的内切圓)5

三角形的旁切圓的半徑

三角形有3個旁切圓,則要分三種情況來談論三角形旁切圓的半徑。

第1種情況:

如下圖所示,通過面積的等差法處理,可以得到:

S△ABC=S△ABO S△ACO-S△BOC

=1/2cr 1/2br—1/2ar=1/2r(b c-a);

則 r=2S△ABC/(b c-a);

怎麼求一般三角形的内切圓(三角形的内切圓)6

第2種情況:

如下圖所示,通過面積的等差法處理,可以得到:

S△ABC=S△OBC S△OAC-S△OAB

=1/2ar 1/2br—1/2cr=1/2r(b a-c);

則 r=2S△ABC/(b a-c);

怎麼求一般三角形的内切圓(三角形的内切圓)7

第3種情況:

如下圖所示,通過面積的等差法處理,可以得到:

S△ABC=S△ABO S△BCO-S△OAC

=1/2cr 1/2ar—1/2br=1/2r(c a-b);

則 r=2S△ABC/(c a-b);

怎麼求一般三角形的内切圓(三角形的内切圓)8

【溫馨提示】以上推理過程隻是為了告訴大家,當△ABC為RT三角形的時候,是可以通過面積法直接計算旁切圓的半徑的。


【基礎知識拓展】已知△ABC三邊分别為a,b,c,

(1)設BD=x,AC=b=(c-x) (a-x),得x=(a c-b)/2;

怎麼求一般三角形的内切圓(三角形的内切圓)8

(2)設AD=y,BC=a=(c-y) (b-y),得y=(b c-a)/2;

怎麼求一般三角形的内切圓(三角形的内切圓)8

(3)設CE=z,AB=c=(a-z) (b-z),得z=(a b-c)/2;

怎麼求一般三角形的内切圓(三角形的内切圓)8

(4)如下圖所示,當△ABC為RT△,則r=(a c-b)/2;

怎麼求一般三角形的内切圓(三角形的内切圓)8


【練練基礎】

在△ABC中,CD⊥AB,O1、O2分别為△ACD和△BCD的内心,AD=6,CD=8,BD=15,則O1O2=?

【濤哥圖解】

怎麼求一般三角形的内切圓(三角形的内切圓)8

怎麼求一般三角形的内切圓(三角形的内切圓)8

利用基本圖,很快可以求出R1=2,R2=3;

接下來,求O1O2的長度,處理方法很多,介紹2種。

怎麼求一般三角形的内切圓(三角形的内切圓)8

方法1:構建RT△O1O2G,圖中标注的很清晰,看圖就明白了。

怎麼求一般三角形的内切圓(三角形的内切圓)8

方法2:利用内心等同于三角形内角平分線的交點,O1D平分∠ADC,O2D平分∠CDB,則∠O1DO2=90°,O1D=√2R1=2√2,同理,O2D=3√2,利用勾股定理求O1O2即可。

方法3:解析幾何 建立坐标系

怎麼求一般三角形的内切圓(三角形的内切圓)8

根據公式,可以求得O1和O2坐标,再利用坐标系内任意兩點之間的距離公式即可求得O1O2的長度。


附上一道課後習題改編的經典題:

如圖,邊長為a的正三角形ABC内有一邊長為b的正△DEF,且a—b=2,求△AEF的内切圓的半徑。

怎麼求一般三角形的内切圓(三角形的内切圓)18

第1步:如下圖所示,可通過全等證得一些線段相等。

怎麼求一般三角形的内切圓(三角形的内切圓)19

怎麼求一般三角形的内切圓(三角形的内切圓)20

關鍵一步轉化:a=AE AF,則a—b=AE AF—EF;

此時,結合三角形内切圓的相關計算,可得2AG=AE AF—EF=2,

得AG=1,

怎麼求一般三角形的内切圓(三角形的内切圓)21

此時,解一下RT△AGO即可得△AEF的内切圓的半徑了!

怎麼求一般三角形的内切圓(三角形的内切圓)22

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