函數的單調性是函數的重要性質，反應了随着自變量的增加函數值的變化趨勢，它是研究函數性質的有力工具，在解決比較大小、解決函數圖像、值域、最值、不等式問題都有很重要的作用。掌握函數單調性的判定方法是學好高中數學必不可少的一個重要的知識點。

1.判斷具體函數單調性的方法

對于給出具體解析式的函數，由函數單調性的定義出發，本文列舉的判斷函數單調性的方法有如下幾種：

1.1 定義法

單調函數的定義：一般地，設f(x)為定義在D上的函數。若對任何x_1、x₂∈D，當x₁<x₂時，總有

(1)f(x₁)＜f(x₂)，則稱f(x)為D上的增函數，

(2)f(x₁)＞f(x₂)，則稱f(x)為D上的減函數。

用單調性的定義判斷函數單調性的方法叫定義法。

利用定義來證明函數y=f(x)在給定區間D上的單調性的一般步驟：

（1）設元，任取x₁、x₂∈D,且x₁<x₂；

（2）作差f(x₁)-f(x₂)；

（3）變形（普遍是因式分解和配方）；

（4）斷号（即判斷f(x₁)-f(x₂)與0的大小）；

（5）定論（即指出函數f(x)在給定的區間D上的單調性）。

在解決問題時，定義法是最直接的方法，也是我們首先考慮的方法，雖說這種方法思路比較清晰，但通常過程比較繁瑣。

1.2 函數性質法

函數性質法是用單調函數的性質來判斷函數單調性的方法。函數性質法通常與我們常見的簡單函數的單調性結合起來使用。對于一些常見的簡單函數的單調性如下圖：

對于一些常用的關于函數單調的性質可總結如下一些結論：

⑴．f(x)與f(x) C單調性相同。（C為常數）

⑵．當k>0時，f(x)與kf(x)具有相同的單調性；當k<0時， f(x)與kf(x)具有相反的單調性。

⑶．當f(x)恒不等于零時，f(x)與1/f(x)具有相反的單調性。

⑷．當f(x)、g(x)在D上都是增（減）函數時，則f(x)＋g(x)在D上是增（減）函數。

⑸．當f(x)、g(x)在D上都是增（減）函數且兩者都恒大于0時，f(x)g(x)在D上是增（減）函數；當f(x)、g(x)在D上都是增（減）函數且兩者都恒小于0時，f(x)g(x)在D上是減（增）函數。

⑹．設y=f(x),x∈D為嚴格增（減）函數，則f(x)必有反函數，且反函數在其定義域f(D)上也是嚴格增（減）函數。

我們可以借助以上簡單函數的單調性來判斷函數的單調性，下面我們來看以下幾個例子：

函數性質法隻能借助于我們熟悉的單調函數去判斷一些函數的單調性，因此首先把函數等價地轉化成我們熟悉的單調函數的四則混合運算的形式，然後利用函數單調性的性質去判斷，但有些函數不能化成簡單單調函數四則混合運算形式就不能采用這種方法。

1.3 圖像法

用函數圖像來判斷函數單調性的方法叫圖像法。根據單調函數的圖像特征，若函數f(x)的圖像在區間D上從左往右逐漸上升則函數f(x)在區間D上是增函數；若函數f(x)圖像在區間D上從左往右逐漸下降則函數f(x)在區間D上是減函數。

例5. 如圖是定義在閉區間[-5,5]上的函數的圖像，試判斷其單調性。

解：由圖像可知：函數y=f(x)的單調區間有[-5,-2），[-2,1），[1,3），[3,5）。

其中函數y=f(x)在區間[-5,-2），[1,3）上的圖像是從左往右逐漸下降的，則函數y=f(x)在區間[-5,-2），[1,3）為減函數；函數y=f(x)在區間[-2,1），[3,5]上的圖像是從往右逐漸上升的，則函數y=f(x)在區間[-2,1），[3,5]上是增函數。

例6.利用函數圖像判斷函數f(x)=x 1；‚g(x)=2^x；ƒh(x)=2^x x 1在[-3,3]上的單調性。

分析：觀察三個函數，易見h(x)=f(x) g(x)，作圖一般步驟為列表、描點、作圖。首先作出f(x)=x 1和g(x)=2^x的圖像，再利用物理學上波的疊加就可以大緻作出h(x)=2^x x 1的圖像，最後利用圖像判斷函數h(x)=2^x x 1的單調性。

解:作圖像如下所示：

由以上函數圖像得知函數f(x)=x 1在閉區間[-3,3]上是單調增函數；

g(x)=2^x在閉區間[-3,3]上是單調增函數；

利用物理上波的疊加可以直接大緻作出ƒh(x)=2^x x 1在閉區間[-3,3]上圖像，即ƒh(x)=2^x x 1在閉區間[-3,3]上是單調增函數。

事實上本題中的三個函數也可以直接用函數性質法判斷其單調性。

用函數圖像法判斷函數單調性比較直觀，函數圖像能夠形象的表示出随着自變量的增加，相應的函數值的變化趨勢，但作圖通常較煩。對于較容易作出圖像的函數用圖像法比較簡單直觀，可以類似物理上波的疊加來大緻畫出圖像。而對于不易作圖的函數就不太适用了。但如果我們借助于相關的數學軟件去作函數的圖像，那麼用圖像法判斷函數單調性是非常簡單方便的。

1.4 複合函數單調性判斷法

歸納此定理，可得口訣：同增異減。

以上步驟可以用八個字簡記“一分”，“二求”，“三定”，“四交”。利用“八字”求法可以解決一些複合函數的單調性問題。下面我們就用“八字”求法來判斷函數的單調性。

1.5 導數法

我們在前面也曾利用函數圖像的特點判斷函數的增減性，圖像上升則遞增，圖像下降則遞減．用定義法、圖像法等這些初等方法來判斷函數的單調性，一般比較繁雜，下面我們将以導數為工具來判斷函數的單調性。函數f(x)的導數反映了函數增加或減小的快慢，即變化率．因此我們可以利用導數判斷函數的單調性．這種用導數的符号來判斷函數單調性的方法叫導數法。在給定區間内隻要能求出其導數我們就可以用導數法來判斷函數單調性。

下面我們來看下面幾個例題：

2．判斷抽象函數單調性的方法

如果一個函數沒有給出具體解析式，那麼這樣的的函數叫做抽象函數。抽象函數沒有具體的解析式，需充分提取題目條件給出的信息。

2.1 定義法

通過作差(或者作商)，根據題目提出的信息進行變形，然後與0（或者1）比較大小關系來判斷其函數單調性。通常有以下幾種方法：

2.1.1 湊差法

根據單調函數的定義，設法從題目中“湊出”“f(x₁)-f(x₂)”的形式，然後比較f(x₁)-f(x₂)與0的大小關系。

例11.已知函數f(x)對任意實數m、n均有f(m n)=f(m) f(n)，且當m>0時，

f(m)>0，試讨論函數f(x)的單調性。

解：由題得f(m n)-f(m)=f(n)，

令x₁=m n,x₂=m，且x₁>x₂，則n=x₁-x₂>0

又由題意當m>0時，f(m)>0,得

f(x₁)-f(x₂)=f(m n)-f(m)=f(n)>0，

所以函數f(x)為增函數。

2.1.2添項法

弄清題目中的結構特點，采用加減添項或乘除添項，以達到能判斷“f(x₁)-f(x₂)”與0大小關系的目的。

例12.（同例11）已知函數f(x)對任意實數m、n均有f(m n)=f(m) f(n)，且當m>0時，f(m)>0，試讨論函數f(x)的單調性。

解:任取x_1、x₂ ∈R，x₁<x₂ ，則x₂-x₁＞0,

f(x₂)-f(x₁)=f[(x₂-x₁) x₁]-f(x₁)

由題意函數f(x)對任意實數m、n均有f(m n)=f(m) f(n)

且當m>0時，f(m)>0,得

f(x₂)-f(x₁)=f(x₂-x₁)>0，

所以函數f(x)為增函數。

2.1.3 增量法

由單調性的定義出發，任取x_1、x₂ ∈R，x₁<x₂ 設x₂=x₁ γ（γ>0）,然後聯系題目提取的信息給出解答。

例13.已知函數f(x)對任意實數m、n均有f(m n)=f(m) f(n)，且當m>0時，f(m)>0，試讨論函數f(x)的單調性。

解：任取x_1、x₂ ∈R，x₁<x₂ 設x₂=x₁ γ（γ>0）

由題意函數f(x)對任意實數m、n均有f(m n)=f(m) f(n)，得

f(x₂)-f(x₁)=f(x₁ γ)-f(x₁)=f(γ)

又由當m>0時，f(m)>0得

f(x₂)-f(x₁)=f(γ)>0

所以函數f(x)為增函數。

2.1.4 放縮法

利用放縮法，判斷f(x₁)與f(x₂)的大小關系，從而得f(x)在其定義域内的單調性。

對于抽象函數，由于抽象函數沒有具體的解析式，因此需充分提取題目條件給出的信息,觀察結構特點。用定義法判定抽象函數單調性比較适用于那種對于定義域内任意兩個數x_1、x₂ ，當x₁<x₂ 時，容易得出f(x₁)-f(x₂)與0大小關系的函數。定義法是最直接的方法，思路也比較清晰，在解題中靈活選擇湊差法、添項法、增量法、放縮法等恰當的方法，可使解題過程更加簡單方便。

總結：函數單調性是函數的一個非常重要的性質，本文從單調性的定義入手，總結了判斷單調性的常見方法。本文把函數分為具體函數和抽象函數兩大類進行讨論，對于每類函數都給出了判定單調性的若幹方法。對于具體的函數，我們可以用多種方法去判斷其單調性，特别地導數法是普遍适用的，若借助于計算機，那麼圖像法也是最簡單最直觀的。對于抽象函數的單調性問題，我們給出了用定義法及列表法。這種題型不僅抽象，而且綜合性較強，對學生的思維能力有很高的要求，學生往往很難發現數學符号與數學語言之間的内在關系。因此在判斷函數單調性的問題上，應靈活選擇恰當的方法，從而使解題過程最簡單。

注意：文中講的是函數單調性的判斷方法，要注意區分函數單調性的證明與判斷的不同。函數單調性的證明隻能用定義法和導數法，而函數單調性的判斷除定義法和導數法，還可以使用文中介紹的各種方法進行判斷。