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求根公式的趣味記憶法
求根公式的趣味記憶法
更新时间:2025-04-03 10:55:02

0. 問題提出

在近期用2019年高考數學全國I卷進行的測評中,偶然發現有同學在求Z=(3-i)/(1 2i)的模時,草稿紙留下一串的複數運算過程。這說明還有同學未熟練掌握‘因式相乘與相除型複數的模’的妙解通法。試問:

求根公式的趣味記憶法(3秒内學霸心算出Z)1

1. 因式相乘與相除型複數的模的通法

1) 若有因式相乘型的複數Z = (a bi)(c di),求|Z|?

一般地,先整理、化簡:

Z = (a bi)(c di) = (ac-bd) (bc ad)i,

所以

求根公式的趣味記憶法(3秒内學霸心算出Z)2

= |a bi||c di|。

結論1:兩個因式相乘型複數的模,等于兩個因式的模之積。

推論1:不難推出,結論1可推廣到連乘的因式超過兩個的情形:

求根公式的趣味記憶法(3秒内學霸心算出Z)3

2) 若有因式相乘型的複數Z = (a bi)/(c di),求|Z|?

一般地,先整理、化簡:

求根公式的趣味記憶法(3秒内學霸心算出Z)4

結論2:兩個因式相除型複數的模,等于分子的模除以分母的模。

推論2:由上述推論1不難推出,結論2可推廣到分子與分母多于1個因式的情形:

求根公式的趣味記憶法(3秒内學霸心算出Z)5

2. 典型示例(高考真題)

例1(2019年高考數學文科全國I卷) 設z= (3-i)/(1 2i),則|Z|=___。

:依題意,

求根公式的趣味記憶法(3秒内學霸心算出Z)6

提示:一般地,高中生均可心算得出結果)

例2(2017江蘇)已知複數z=(1 i)(1 2i),其中i是虛數單位,則z的模=___。

:依題意,

求根公式的趣味記憶法(3秒内學霸心算出Z)7

提示:一般地,高中生均可心算得出結果)

例3(2017新課标Ⅲ理數)設複數z滿足(1 i)z=2i,則|z|=____。

:依題意,

求根公式的趣味記憶法(3秒内學霸心算出Z)8

提示:一般地,高中生均可心算得出結果)

全文小結

① 本文推導了求解‘因式相乘與相除型複數’的模的兩個推論——即推論1和推論2。當遇到求解因式相乘與相除型複數的模時,利用這兩個推論,既能解得快又不易出錯——避開了難免犯錯的四則運算過程。

② 大家知道,一個學習态度端正、基礎紮實的同學,要進一步提升,綜合能力是關鍵。而本文通過論述求特定型态複數的模的通法,啟發同學們在學習過程中,要多思考、求甚解——這是快速地提高學習能力和成績的好的、有效的方法與習慣。

③ 本号及其文章一貫倡導和啟發大家勤于思考、樂于動手、善于總結,輕快學習,成為高分高能真學霸。若您覺得本号文章有幫助,可關注本号輕快學習課堂”,以便捷地查找、閱讀以前發表的相關文章以及新發表的文章。

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