計算函數的單調性和單調區間-tft每日頭條

這是高中數學一道關于求奇函數的表達式和區間上的單調性的問題。題目本身比較簡單，但仍存在給自己挖坑的可能呢。為什麼這樣說呢？我們來看看題目本身吧。

計算函數的單調性和單調區間（千萬不要自己挖坑自己跳）1

已知f(x)=(ax^2 2)/(bx c)是奇函數, 且圖像經過點(1,3)和(2,3).

(1)求f(x)的表達式; (2)判斷并證明f(x)在(0,根号2]上單調性.

分析：(1)這是待定系數法的運用。函數的表達式有三個參數，所以需要圖像上的三個點的數據。但題目隻給了兩個點，這時候可能有小夥伴就會想到原點，因為這個函數是奇函數，關于原點對稱。如果代入原點，那就錯了，因為題目沒有說函數在原點有定義，所以不能代入原點，就算湊巧對了，也是不可取的。那應該怎麼辦呢？

可以利用奇函數的性質f(-x)=-f(x)，結合已知的點(1,3)和(2,3)，代入解析式，就可以得到一個三元一次方程組。因為函數在x=1和x=2都有定義，所以我們可以根據f(-2)=-f(2), 或f(-1)=-f(1)，列得最後一個方程。

解方程組就可以得到三個參數的值，從而得到函數的解析式。

(2)有了函數的解析式，求函數的導數，就可以知道函數的單調性。也可以在規定的區間上任取兩點，并設它們的大小關系，然後求它們的函數的大小關系，就可以了。接下來我們組織解題的過程：

解：(1)依題意列方程組：{(a 2)/(b c)=3；(4a 2)/(2b c)=3；(a 2)/(b c)=(a 2)/(b-c)}.

【由三式可化簡得c=0，因為c=0，所以函數才在x=0沒有定義】

解得：{a=1,b=1,c=0}，所以函數的表達式為：f(x)=(x^2 2)/x.

【把函數的表達式化為f(x)=x 2/x，可以根據均值不等式知道，f(根号2)=2根号2最小，因此可以猜想函數在(0,根号]上是減函數，并加以證明。】

(2)f(x)在(0,根号2]上是減函數. 理由如下：

設x1,x2∈(0,根号2], 且x1<x2, 則f(x2)-f(x1)=(x2-x1) 2(1/x2-1/x1)=(x2-x1)(1-2/(x1x2))<0,

∴ f(x)在(0,根号2]上是減函數.

不過就算一開始搞錯，把原點代入解析式，也很快就能發現，得到的方程是沒有解的。不過我們不能因為這樣而慶幸，數學必須要掌握它的嚴謹性才行。