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計算函數的單調性和單調區間
計算函數的單調性和單調區間
更新时间:2025-04-03 17:30:38

這是高中數學一道關于求奇函數的表達式和區間上的單調性的問題。題目本身比較簡單,但仍存在給自己挖坑的可能呢。為什麼這樣說呢?我們來看看題目本身吧。

計算函數的單調性和單調區間(千萬不要自己挖坑自己跳)1

已知f(x)=(ax^2 2)/(bx c)是奇函數, 且圖像經過點(1,3)和(2,3).

(1)求f(x)的表達式; (2)判斷并證明f(x)在(0,根号2]上單調性.

分析:(1)這是待定系數法的運用。函數的表達式有三個參數,所以需要圖像上的三個點的數據。但題目隻給了兩個點,這時候可能有小夥伴就會想到原點,因為這個函數是奇函數,關于原點對稱。如果代入原點,那就錯了,因為題目沒有說函數在原點有定義,所以不能代入原點,就算湊巧對了,也是不可取的。那應該怎麼辦呢?

可以利用奇函數的性質f(-x)=-f(x),結合已知的點(1,3)和(2,3),代入解析式,就可以得到一個三元一次方程組。因為函數在x=1和x=2都有定義,所以我們可以根據f(-2)=-f(2), 或f(-1)=-f(1),列得最後一個方程。

解方程組就可以得到三個參數的值,從而得到函數的解析式。

(2)有了函數的解析式,求函數的導數,就可以知道函數的單調性。也可以在規定的區間上任取兩點,并設它們的大小關系,然後求它們的函數的大小關系,就可以了。接下來我們組織解題的過程:

解:(1)依題意列方程組:{(a 2)/(b c)=3;(4a 2)/(2b c)=3;(a 2)/(b c)=(a 2)/(b-c)}.

【由三式可化簡得c=0,因為c=0,所以函數才在x=0沒有定義】

解得:{a=1,b=1,c=0},所以函數的表達式為:f(x)=(x^2 2)/x.

【把函數的表達式化為f(x)=x 2/x,可以根據均值不等式知道,f(根号2)=2根号2最小,因此可以猜想函數在(0,根号]上是減函數,并加以證明。】

(2)f(x)在(0,根号2]上是減函數. 理由如下:

設x1,x2∈(0,根号2], 且x1<x2, 則f(x2)-f(x1)=(x2-x1) 2(1/x2-1/x1)=(x2-x1)(1-2/(x1x2))<0,

∴ f(x)在(0,根号2]上是減函數.

不過就算一開始搞錯,把原點代入解析式,也很快就能發現,得到的方程是沒有解的。不過我們不能因為這樣而慶幸,數學必須要掌握它的嚴謹性才行。

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