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高二數學壓軸小題
高二數學壓軸小題
更新时间:2025-04-07 19:17:27

歡迎閱讀懂得都懂系列之壓軸小題選題系列第二期,前三個題目題型相似,角度略微不同,能同時收集三個也屬難得,最後一個三角函數題目也是難得一遇。

高二數學壓軸小題(高中數學壓軸小題選題系列2)1

抛物線的焦點和圓的圓心重合,直線為焦點弦所在的直線,題目中提供的直線|AC|和|BD|并不是焦半徑,但可用抛物線焦半徑減去圓的直徑求得,而在抛物線中焦點弦和焦半徑均可用直線傾斜角直接求出長度,因此知道兩條焦半徑長度的關系,套用公式即可求出直線傾斜角餘弦值,進而求出正切值的平方,簡潔直接,至于常規方法自己琢磨吧,反正有點複雜。

高二數學壓軸小題(高中數學壓軸小題選題系列2)2

高二數學壓軸小題(高中數學壓軸小題選題系列2)3

本題中DA為焦點弦,可用直線傾斜角的餘弦值來表示,向量DA和向量OF的夾角也是這個餘弦值,因此隻需求出直線與x軸夾角的餘弦值即可,和上題類似,也可用焦半徑将題目中的AB,BD替換下來,用焦半徑公式求出餘弦值,帶入即可求出向量的數量積。

高二數學壓軸小題(高中數學壓軸小題選題系列2)4

若用常規做法,因為向量OF=(p/2,0),因此數量積的值隻和向量DA的橫坐标有關,設出A,B兩點,同樣将AB,BD用焦半徑替換下來,用A,B橫坐标表示出出焦半徑的長度即可求出向量DA的橫坐标。

高二數學壓軸小題(高中數學壓軸小題選題系列2)5

高二數學壓軸小題(高中數學壓軸小題選題系列2)6

這個題目更簡單,所求式子的最小值,要麼知道|PM| |QN|的定值,要麼知道|PM||QN|的定值,用焦半徑替換下來後用焦半徑公式帶入發現和不是定值,乘積為定值,再用均值不等式求出最值即可。

高二數學壓軸小題(高中數學壓軸小題選題系列2)7

高二數學壓軸小題(高中數學壓軸小題選題系列2)8

這是一個信号強烈的切線放縮(單構)題目,分離參數後分母存在lnx,分子存在-x-1,利用指數函數切線放縮後分子隻剩下-3lnx,相除可得整數-3,且取等時的x值在定義域中存在,不會産生參數放大的情況,相關知識點鍊接可參考:

指對數同構的再分析第一部分

指對數同構的再分析第二部分

高二數學壓軸小題(高中數學壓軸小題選題系列2)9

高二數學壓軸小題(高中數學壓軸小題選題系列2)10

這個題目除了麻煩并沒有值得說的地方,三個線段之和為4a,根據等差數列可求出MN的長度和MF1 NF1的長度,在直角三角形中利用勾股定理可分别求出MF1和NF1,利用橢圓定義可求出MF2和NF2,會發現△MF1F2為等腰直角三角形,利用面積相等即可求出離心率的值,求焦點三角形面積時用了一次頂角面積公式。

高二數學壓軸小題(高中數學壓軸小題選題系列2)11

高二數學壓軸小題(高中數學壓軸小題選題系列2)12

第六題可拆分成文理兩個題目,求函數解析式可當做文科題,後續的最值可當成理科題,題目中隻看f(π/8)=f(5π/8)并不能說明什麼,且x=π/8和x=5π/8的中點也不一定是函數的對稱軸,至于為什麼自己看一下正弦圖像就知道了,但本題中告知了ω的範圍,從中可知T>2π,而x=π/8和x=5π/8的距離為π/2<T/2,因此可确定x=π/8和x=5π/8的中點一定是對稱軸,結合ω的範圍和函數的最值即可求出函數的解析式。

從函數解析式上看,最大值為√2,最小值為√2/2,用換元法可知t的左端點為π/4,右端點未知,很顯然當t≤π/2時成立,此時最大值小于等于√2,最小值的二倍為√2,符合要求,若t>π/2時,函數在此範圍内必定求得最大值√2,若滿足最小值的二倍大于等于最大值,則要求f(x)的最小值不能小于√2/2,此時對應的t=3π/4,因此當t≤3π/4時,最小值的二倍大于等于√2,此時符合要求,其他區間沒必要再看,本題是好長時間看到的一道很不錯的三角函數題目。

高二數學壓軸小題(高中數學壓軸小題選題系列2)13

下次選題會找一些很不錯的立體幾何和向量小題分享,因為今年的浙江題,有人在後台問權方和不等式的用法,這個不等式可通過柯西不等式證明得來,本身不難理解,後續可能會找一些題目作解釋。

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高二數學壓軸小題(高中數學壓軸小題選題系列2)14

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