1. 基本問題說明

“求函數值域”是常見的基礎應用之一。

該基礎應用或者獨立出題，如直接求值域、最值等，或者與其它基礎應用綜合在一起出題，如恒成立、存在性問題等，其求解時一般需要先求出值域或最值。

2. 解決問題的一般方法

(1) 常見函數求值域一般方法（分類歸納總結）

① 一次/二次函數

a) 一次 – 利用“端點”範圍；

b) 二次 – 利用“開口和對稱軸位置”；或者利用配方法；

c) 含參時，要分類讨論。

② 對勾函數（原理 - 均值不等式）

y=ax b/x（a>0, b>0）；ax=b/x時，得其第一象限最值點（√(b/a), 2√ab）

③ 分式函數

a) 簡單一次分式函數y=c/(ax b)

先求分母，再求整體

b) 一般一次分式函數y=(cx d)/(ax b)

c) 二次分式函數

提示：判别式法，在滿足條件——x的定義域為R時有通用的方法，即當分子或分母有二次，可兩邊同乘分母，再解判别式不等式即可得y的範圍。

y=(ax2 bx c)/x

直接除後，如果ac>0，可以用對勾函數求解；如果ac<0，可以用單調性求解（提示：此時ax和c/x有相同單調性）

y=x/(ax2 bx c)

分子分母同除x，然後用上述一樣思路求解即可。

y=(ax2 bx c)/(dx e)

換元t=dx e，然後類似上述方法解答。

y=(dx e) /(ax2 bx c)

換元t=dx e，然後分dx e=0和0兩種情況；不等于0時可按類似上述方法解答。

④ 根式函數

隻有一個根式時，如y=x √x， 可用換元法，t=√x；有些題也可用平方法——根式在一邊，其餘在等式另一邊，再兩邊平方以去根号。提示：無論是換元還是平方，都要留意定義域的轉化（傳遞要一緻！）。

提示：其它常見基本初等函數，如反比例函數、幂函數、指數函數、對數函數、三角函數等，可利用這些函數的性質、結合區間端點等去求解（詳見相關主題，這裡不再贅述）。

(2) 求值域的常用方法

① 直接法– 适用于函數或其圖像特性易觀察或得到

直接利用函數性質和定義域，通過觀察、分析求出值域

② 配方法– 适用于二次函數及其複合函數

③ 判别式法– 适用于二次函數

④ 換元法– 适用于根式、三角情形

複合函數思想，由内而外，一層一層求值域；反之，如果給定值域，求其它（如參數值），則由外而内去求！

⑤ 反函數法 – 适用于反函數的定義域更方便求得或表示，如分母含一次函數的分式

反函數的定義域為原函數的值域。

⑥ 單調性法 – 适用于求複合函數的值域或最值

根據單調性和定義域範圍求解

⑦ 導數法– 适用于導數易求、零點和單調性易分析的情形

導數是用來求極值點和單調性的更便捷且通用的方法！因此用來求某些題型值域時很方便，有時還可避免不必要的讨論。

因複合函數求導後式子看上去很複雜，為了避免這種情況出現，可先換元，或則考慮改用其它方法。

⑧ 數形結合法（又稱圖像法）– 适用于某些客觀題求解，或作為上述方法的輔助

⑨ 不等式法

利用重要不等式及其性質來求解，如基本不等式（均值不等式）。

⑩ 參數方程法(詳見例題)

提示：需要時，先對函數整理、變換（如分離常數），以看清函數的特征及其适用方法；

提示：需要時，可多種方法結合使用。

提示：在學過選修2-2的導數部分後，同學們會掌握一種更具普遍适用性的方法——通過導數法求極值、最值或值域。

3. 典型例題

例1求函數y = 1/(1 x^2)的值域。

解：（直接法）因為1 x^2大于1,所以0<1/(1 x^2 )≤1

所以函數的值域為(0,1]。

例2求函數y= √(x 1) √(x-1)的值域

解：（單調性法）由題可知，該函數的定義域為[1, ∞)。

當x≥1時，該單數單調遞增，而f(1)= √2

所以該函數值域為[√2,

講解：

① 本題示例了利用單調性求解值域的一般方法

(1) 先确定定義域，得其端點；

(2) 說明其單調性（遞增或遞減）；

(3) 代入端點得值域。

② 提示：端點或上、下界可以是∞。

例3 已知函數f(x)＝(2x2 bx c)/(x2 1)的值域為[1,3],求實數b,c的值。

講解：

① 本題利用判别式法求解值域。提示：注意該通用方法的适用前提條件。

② 解題過程中，理解并将已知條件與判别式正确地聯系起來是關鍵。

例4 求下列函數的值域：

(1) y=(2x 1)/(x-3)，

(2) y=x 2√(1 x)，

(3) y=(x^2-x 1)/(2x^2-2x 3)。

例5 求函數y=|x-3|-|x 1|的值域.

解：解法1：（數形結合法）可以分類

例6 求函數y=√(x-3) √(5-x)的值域.

解：（平方法）函數定義域為:x∈[3,5]

y^2=(x-3) (5-x) 2√(-x^2 8x-15),

由x∈[3,5]，得：(-x^2 8x-15)∈[0,1]

所以y^2∈[2,4]，又y>0，

所以所求值域為[√2,2]。

例7 求函數y=x √(1-x2)的值域

解：（參數方程法）

因為-1≤x≤1,設x=cosθ, θ∈[0, π],

y=cosθ |sinθ|=cosθ sinθ=√2sin(θ π/4)∈[-1,√2]，

所以所求值域為[-1,√2]。

講解：

例8函數y=x 1/x 1的值域

解：（基本不等式法）

當x>0時，x 1/x≥2,

所以y≥3,

當x<0時，x 1/x≤-2,

所以y≤-1,

綜上可知，原函數值域為(-∞,-1)∪(3, ∞)。

例9求函數y=（4x 3）/(x^2 1)的值域。

本文小結:

① 本文論述了“函數值域"相關問題的求解一般方法與技巧。大家平時練習或作業中，應多加以應用和體會，查漏補缺，直至能夠熟練掌握和應用這類問題的常用方法與技巧。

溫馨提示：本文屬于高中數學《集合與函數》模塊第13講。關注本号“輕快學習課堂”，可查閱其它已發表文章。