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作者：逆蝶，哆嗒數學網群友，就讀于中國科學技術大學

虛數，是數系中最偉大的發現之一，但是就像無理數的發現過程是坎坷的一樣，引入虛數的路途也不是一帆風順的。在虛數剛出現之時，曾引起數學界的一片困惑，認為虛數是沒有意義的，想象的，虛無缥缈的，很多大數學家都不承認虛數。

萊布尼茨曾說：“虛數是神靈遁迹的精微而奇異的隐蔽所，它大概是存在和虛妄兩界中的兩栖物。”

然而虛數并不是偶然引入的一種虛無缥缈的東西。三次方程求根問題是曆史上一個著名的數學問題，一直有數學家嘗試給出這個問題的解。直到十六世紀，意大利數學家塔塔裡亞才發現三次方程的求根公式。在這之後，虛數的引入就成了一個實際的數學問題，而不再是單純的一個符号演算。不承認虛數的存在，就意味着無法求解三次方程的根。

虛數出現之後，法國數學家棣莫佛發現著名的棣莫佛公式，歐拉用i表示-1的平方根，将i作為虛數的單位，挪威測量學家韋塞爾試圖給虛數以直觀的幾何解釋，高斯對于複素數進行了一系列的研究。再加上柯西及阿貝爾的努力，以及複變函數論的創立，複數理論才比較完整和系統地建立起來，逐漸為數學家所接受。

複數z被定義為二元有序實數對(x,y)，記為z=x yi，其中i是虛根單位。在複數z=x yi中，x=Re(z)稱為實部，y=Im(z)稱為虛部。當虛部b=0時，z可視為實數；當虛部b≠0而實部a=0時，z稱為虛數，或者純虛數。

定義兩虛數a bi與c di的加法：(a bi) (c di)=(a c) (b d)i

乘法：(a bi)(c di)=(ac-bd) (bc ad)i

根據乘法的定義可得i²=-1，容易驗證複數運算和實數運算的運算法則基本相同，隻不過是在運算過程中帶上符号i而已。

将複數z=x yi等同于平面上的點或者向量(x，y)，那麼z有長度sqrt{x² y²}(這裡sqrt表示開根号)，稱為複數z的模長，記為|z|。複數z'=x-yi，即z關于x軸的對稱點，稱為z的共轭複數，容易驗證zz'=|z|²。另外複數的加法，就等同于向量之間的加法。

記r=|z|，t為z與x軸正方向的夾角，稱為z的幅角，那麼有x=rcost，y=rsint，于是有z=r(cost isint)，稱為複數z的三角表示。歐拉證明了e^(it)=cost isint，所以也有z=re^(it)(x^y 表示x的y次方)，稱為z的指數表示。

複數的乘法用三角表示或者指數表示是簡單的。通過三角函數的運算可以簡單證明若z=re^(it)，w=pe^(is)，那麼zw=rpe^(i(t s))。也就是說，兩個複數相乘所得到的複數，其模是兩個複數模的乘積，其幅角是兩個複數幅角的和。因此w乘以z，即為w的長度伸縮為原來的r倍，并将w逆時針旋轉角度t。

利用e^(πi/2)=cos(π/2) i sin(π/2)=i，可得一個複數z乘以i所得複數iz可以由複數z逆時針旋轉90°得到，這說明複數的确是有幾何意義的。

除了以上的幾種表示，複數還有矩陣表示。把複數z=x yi等同于下面形式的矩陣。

那麼容易驗證複數的加法與矩陣的加法相容，複數的乘法也與矩陣的乘法相容，而且令人驚奇的是這樣的矩陣在矩陣乘法下居然是可以交換的。而複數的模長即為矩陣行列式的平方根，複數的共轭就是矩陣的轉置。并且還可以發現下面圖片所展示的等同關系。

當r=1，即z=e^(it)時，z乘以一個複數w相當于把w逆時針旋轉角度t。根據同種理由，稱z所對應的矩陣（如下圖）為旋轉矩陣。

關于複數的減法，自然的定義為(a bi)-(c di)=(a-c) (b-d)i。對于除法，由zz'=|z|²，可以得到1/z=z'/|z|²，這提醒我們可以把複數除法定義為w/z=wz'/|z|²。

這樣所有的複數就夠成了一個域，稱為複數域，複數域是對實數域的擴充。複數域是實數域的代數閉包，也就是說任意的複系數多項式在複數域中總有根，這稱為代數基本定理。n次多項式總有根的第一個正确證明是高斯在1799年的博士論文中給出的。

這裡對高斯整數做一個簡單介紹。每個形如m ni的複數稱為高斯整數，其中m，n是整數。類似于素數，如果m ni=(a bi)(c di)可以得到a bi或者c di等于1，-1，i，-i中的某一個數，那麼稱m ni是複素數或者高斯素數。顯然的關系式5=(1 2i)(1-2i)，說明素數5不是複素數，所以素數并不一定都是複素數。确定一個複整數是不是一個複素數，比确定一個整數是不是素數更為困難。另外類似于整數的算數基本定理，複整數也可以表示成複素數的幂相乘。

從實數系到複數系擴充的成功，促使許多數學家考慮複數系的擴充，一般稱之為超複數，其中最成功的人物是哈密頓。

哈密頓澄清了複數的概念，這使他能更清楚的思考超複數的問題。他先是尋找三維或三分量的數，并要求具有實數和複數的若幹性質。經過若幹年的努力之後，哈密頓被迫做出兩個讓步，一是他所作的新數包含四個分量，二是他放棄了乘法交換律。他稱得到的新的數系為四元數，而三元數的不可能性到後來才被人們意識到。

四元數是簡單的超複數。複數是由實數加上虛數單位i組成，其中i²=-1。哈密頓考慮複數系的擴充，另外引入兩個虛根單位j，k，并有i²=j²=k²=-1。

四元數q被定義為四元有序實數組(x,y,z,w)，記為q=x yi zj wk。兩個四元數的加法與複數的加法類似，為對應坐标相加。若p=a bi cj dk，q=x yi zj wk，那麼p q=(a x) (b y)i (c z)j (d w)k。

為了定義兩個四元數的乘法，另外規定：ij=k，jk=i，ki=j，這與三維空間向量的外積頗有類似之處。因為ik=i(ij)=i²j=-j，所以根據之前的關系式可以類似得到：ji=-ij=-k，kj=-jk=-i，ik=-ki=-j。

因為ij≠ji，所以乘法不滿足交換律。另外由于将i,j,k輪換之後，i,j,k的運算關系式不變，這說明i,j,k的位置是等價的，并沒有哪個虛根單位比另一個更特殊，例如完全可以把四元數q寫為q=x zj wk xi，從而把z放在第二個坐标。

與複數類似，将q等同于四維空間中的點或向量(x,y,w,k)，那麼q有長度sqrt{x² y² z² w²}，稱為四元數q的模長，記為|q|。四元數q'=x-yi-zj-wk，即q關于x軸的對稱點，稱為q的共轭四元數，容易驗證qq'=|q|²。另外四元數的加法，就等同于四維向量之間的加法。

四元數不像複數那樣有很好的三角表示，也沒有好的指數表示，隻有方向餘弦q=r(cosα icosβ jcosγ kcosθ)這種較為複雜的三角表示，其中α，β，γ，θ是q與四個坐标系的夾角，r=|q|為q的模長，但是這種表示并不能像複數的三角表示那樣可以簡化四元數乘法的運算。另外虛根單位i,j,k也可以理解為四維空間的旋轉，但是其意義與複數旋轉的意義相比較為複雜的多。

四元數有兩種矩陣表示。

第一種是複矩陣表示，把q=x yi zj wk等同于下面的矩陣。

那麼四元數的加法與矩陣的加法相容，四元數的乘法也與矩陣的乘法相容，而四元數的模長為矩陣行列式的平方根，四元數的共轭就是矩陣的共轭轉置。還有下圖的對應關系。這種表示的另外一個好處就是當四元數q=x yi zj wk退化為複數x yi，即c=d=0時，與之前的複數的矩陣表示是相同的。

第二種是實矩陣表示，把q=x yi zj wk等同于下面四階實矩陣。

同樣的有四元數的模長是矩陣行列式的平方根，四元數的共轭是矩陣的轉置。對于退化情形q=x yi，可見其矩陣表示是複數的矩陣表示放在兩個對角塊位置上的拼接。

根據k=ij，可以得到q=x yi zj wij=(x yi) (z wi)j，記a=x yi，b=z wi，那麼q可以視為複數對(a，b)，但由于四元數乘法不滿足交換律，所以一般的并不滿足類似于複數乘法的關系式(a bj)(c dj)=(ac-bd) (ad bc)j。隻有a,b,c,d為實數時，上述關系式才成立。

因為矩陣乘法一般不滿足交換律，這也可以幫助理解四元數乘法為什麼不滿足交換律，所以四元數形成的代數結構稱為四元數體，而不是四元數域。關于四元數的減法，理所應當的定義為對應坐标相減。對于除法，由qq'=|q|²，可以得到1/q=q'/|q|²，這說明與複數除法類似，可以把四元數除法p/q定義為p與q'/|q|²相乘。但是與複數不同的是四元數的乘法不滿足交換律，所以左乘與右乘是不同的，也即pq'/|q|²與q'p/|q|²是不同的。那麼究竟把哪一個定義成除法更合适呢？其實兩種定義都是合理的，隻需把p和q間除法區分為左除和右除就可以了，即把除法定義為(1/q)·p和p·(1/q)，分别稱為成左除法與右除法，而不把除法寫為p/q的形式。

更一般的，還有數系的關于四元數的擴充，例如Cayley八元數。但是八元數乘法既不滿足交換律也不滿足結合律，所以其作用與四元數相比有些相形見绌。另外也有許多其他種類的數系的擴充，有興趣的讀者可以查閱專門的文獻。

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