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數的整除有什麼特點
數的整除有什麼特點
更新时间:2025-04-04 09:26:17
很多資料或題目講到關于數的整除性質,但是性質怎麼來的很少介紹,在此"簡單舉例"推導以助理解掌握,方法多樣的隻舉其中之一,有些數字類似的情況也不重複,以免占用大家寶貴的時間。

一般地,若整數b除以非零整數a,商為整數,且餘數為零, 我們就說b能被a整除(或說a能整除b),

記為:a|b("|"是整除符号),讀作"a整除b"或"b能被a整除"

一、我們先看幾個基本的性質

1、 若a|b,a|c,則a| (b±c)

  • 運用除法與分數的關系解釋

數的整除有什麼特點(數的整除特征大家經常在用)1

  • 通俗地講,如果兩個數能被同一個數整除,那麼它們的和、差也能被這個數整除(積當然也可以)

2、 若a|b,b|c,則a|c

數的整除有什麼特點(數的整除特征大家經常在用)2

  • 通俗地講就是一個數倍數的倍數是它的倍數。

3、 若a|bc,且(a,c)= 1,則a|b

數的整除有什麼特點(數的整除特征大家經常在用)3


4、 a|b,c|b,且a、c互質(a,c)=1,則bc|a

數的整除有什麼特點(數的整除特征大家經常在用)4

這個性質可以推廣到多個兩兩互質的數的情況,非常有用;

例:2、3、5兩兩互質,如果一個數m能同時被這三個數整除,那麼m能被30整除;


二、結合位值原理常見數的整除特征歸納說明

1、個位上是0、2、4、6、8的整數都能被2整除。

數的整除有什麼特點(數的整除特征大家經常在用)5

2、 個位上是0或者5的整數都能被5整除(方法同上)。

3、 若一個整數各位數字之和能被3(或9)整除,則這個整數能被3(或9)整除。(3與9判斷方法一樣)

數的整除有什麼特點(數的整除特征大家經常在用)6

請注意:從這裡我們也可以得出一個整數除以9的餘數等于它各數字之和除以9的餘數。

4、 若一個整數末兩位數能被4(或25)整除,則這個數能被4(或25)整除。(方法同2,找整百);

5、若一個整數末三位數能被8(或125)整除,則這個數能被8(或125)整除。(方法同2,找整千);

6、 若一個整數末四位數能被16(或625)整除,則這個數能被16(或625)整除。(方法同2,找整萬);

7、 一個三位以上的整數能否被7(或11、13)整除,從右往左三位斷開,奇數段與偶數段分别相加再作差(以大減小)能否被7(或11、13)整除 ,(右往左-三位斷-奇偶分組-求和-再作差);

數的整除有什麼特點(數的整除特征大家經常在用)7

8、 一個整數的奇數位數字和與偶數位數字和的差(大-小)如果是11的倍數,那麼這個整數也是11的倍數(比上面方法簡單一點點);

數的整除有什麼特點(數的整除特征大家經常在用)8

9、判斷一個整數能否被99、999、9999....整除,可以“從右往左”按照兩位、三位、四位斷開再求和。

數的整除有什麼特點(數的整除特征大家經常在用)9

  • 其實所有關于“9”的整除原理都一樣

10、若一個質數能整除兩個自然數的乘積,那麼這個質數至少能整除這兩個自然數中的一個;

11、 特别地:1與0的特性

1是任何整數的因數,即對于任何整數a,總有1|a.

0是任何非零整數的倍數,a≠0,a為整數,則a|0.


三、關鍵

數的整除概念、性質及特征為我們解決一些實際問題帶來了很大方便,應用廣泛。需要在理解其來源的基礎上掌握。

我們可以用上面的性質去判斷能否被給定的數整除,反過來也可以用相關的性質去解決問題,比如結合平方數我們以前提到過的"n² 2"一定不是5的倍數。


四、經典例題

[例1]已知七位數" 1287xy6" 是72的倍數,求出所有符合條件的七位數(江蘇競賽題)

[思路導航]

因為72=8*9(8、9互質)

所以隻需滿足七位數能同時被8、9整除即可

如果先從8入手是考慮三位情況較多,所以從9入手

數的整除有什麼特點(數的整除特征大家經常在用)10


例2、已知a、b是正整(a>b)對于如下兩個結論:①在a b、ab、a-b這三個數中必有2的倍數,②a b、ab、a-b必有三的倍數,其中正确的是( )

A 都正确 ,B 都不正确;

C隻有①正确 , D 隻有②正确;

[思路導航]因為數字不确定,但可以結合奇偶性及餘數的情況進行"分類讨論"得出結果,注意利用倍數與因數的關系。

數的整除有什麼特點(數的整除特征大家經常在用)11

[例3]如果把1-1997這1997個自然數依次寫下來,我們可以得一個多位數12345678910111213…1994199519961997,試求這個多位數除以9的餘數。

[思路導航]

根據前面推導能被9整除的數的特征我們知道:

"一個自然數除以9的餘數,等于這個自然數各個數位上數字和除以9的餘數"

所以求這個多位數除以9的餘數問題,可以先轉化為求1至1997這1997個自然數中所有數字之和是多少,然後就很好解決了

方法一:因為1至9這9個數字之和為45

所以10至19,20至29……90至99

這十個組的各位數位上的數字和分别為:

45 10,45 20……45 90。

所以:1至99這99個自然數各位數字之和為:

45 55 65 … 125 135=900

同理可得

1至999這999個自然數各位上數字之和為:

900 1000 … 1700 1800=13500

同理可得

1000至1999這1000個自然數各數位上的數字和為

13500 1000=14500

則1至1999這1999個自然數各數位的數字和為:

13500 14500=28000。

1998、1999這兩個數各數位上的數字和為:27、28。

28000-27-28=27945,

9能整除27945

所以多位數除以9餘0

方法二:

将1至1996這1996個自然數配成如下的998組:

(1,1996),(2,1995),……

每組兩數之和為1997

998組所有數字之和等于:

(1 9 9 7)×998=25948

25948 1997=27945

所以多位數除以9餘0

方法三:根據整特性

由任意連續9個自然數所組成的多位數,

一定能被9整除;

而從1至1997一共有1997個數;

從1開始按9個一組分;

1997÷9=221(組)……8(個);

1990、1991、1992、1993、1994、1995、1996、1997;

我們看這8個數所有數位上的數字和為:

19 20 21 22 23 24 25 26=180;

180能被9整除,所以多位數除以9餘0。


(因為任意連續的9個自然數的各數位上的數字和除以9的餘數,必定是0,1,2…,7,8這9個數,而這9個數的和為36,36能被9整除,所以任意依次寫出的9個連續自然數組成的多位數一定能被9整除。)

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