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定積分求數列極限區間怎麼找
定積分求數列極限區間怎麼找
更新时间:2025-04-03 12:39:07

大家好!感謝閱讀本雞的拙作。

本文專為初學微積分的選手選手設計,需要複習微積分概念的,也很适合。

沒有晦澀的證明,隻說人話。

一個例子基本上可以說明數列所有的事,定義和極限存在法則。現在想想pi,圓周率。你肯定能寫出來十進制表達式π=3.1415926........。現在你這樣寫,先寫3.1,再寫3.14,.......

定積分求數列極限區間怎麼找(菜雞速通微積分)1

這就得到一個序列,因為這一坨東西,每一個都是數,并且可以說第一個數、第二個數......

要理解,這實際上是一個映射,或者說函數,也就是用全體自然數,給特定的一坨數,上唯一的标簽。你如果恰好懂“可列”這個詞,那就太好了。如果不懂,暫時影響也不大;可以看本雞的拙作“菜雞速通微積分:自然數、有理數、奇數等等都一樣多!一句話的事”。提這件事的目的在于,讓你體會,數列的極限與函數的極限,基本上是一回事

現在我們避開讨論一個困難的問題,就是你到底能不能寫出來,實際上你寫不出來,重要的是,你寫不出來也不要緊。π隻是一個符号,代表着圓周率。所有的無理數你都不知道确切的數值,但是無理數一定有其存在的意義:比如圓周率就是圓周長除以半徑,這是比率的意思。

回來繼續說。如果一系列數,最終能趨于一個數,就說那個數是數列的極限。記号在上面圖裡面最後一行,如果極限是實數L,那麼就寫

定積分求數列極限區間怎麼找(菜雞速通微積分)2

現在,重點來了。不難,但請别讀太快。epsilon-N語言來了。先把這一列數,畫出來。

定積分求數列極限區間怎麼找(菜雞速通微積分)3

仔細看圖。

馬上可以說單調收斂準則:數列單調有界必收斂。

現在,明擺着,雖然不知道π的具體值,但是,這個數列,最後的确會趨于π。原因是,比方說,如果你隻觀察到第二項,那麼可以說π在3.1和3.15之間;觀察到第三項以後,就可以說π在3.14和3.142之間,以此類推。後面說成是夾逼準則。


這樣就能抽象出來幾件事:

1.定義。不論給定多麼小的一個數,記作epsilon,總有一個自然數N(項的下标,就是第幾個的意思),使得有一個實數(現在是π),與第N 1項以後所有項的數值,差别不會超過epsilon。寫出來,就是:

定積分求數列極限區間怎麼找(菜雞速通微積分)4

讀作:任給一個epsilon,都存在一個正整數N,使得當n>N時,an與L的差不超過epsilon。

這就是所謂epsilon-N條件---L就是極限也說數列收斂。這就是嚴格的數列極限定義。這裡有一個很大的邏輯上的困難,最後再說。

2.定理

仍然看圓周率的圖像,還有上面的表達式,就可以說,從第N 1項以後所有項,落在極限周圍任意小的鄰域(範圍内)。你能看懂下面這個圖了。

定積分求數列極限區間怎麼找(菜雞速通微積分)5

這個圖告訴我們很多事

去掉數列的前面(或者随便哪些)任意有限項,不改變其收斂性”;因為除了有限項,數值都在特定範圍内。

并且“收斂序列一定有界,并且最終有界”;等價的“最終無界數列不收斂”這種情況麻煩些,序列可能趨于正無窮,或者負無窮,或者不斷在正負無窮這兩個東西跳來跳去。

柯西準則:從N開始,任意兩項差别任意小。這簡直是廢話。

夾逼準則:回憶分割線上面的一段,觀察下面的圖,明擺着三個序列都收斂到π。這就是某序列被在兩個序列之間,這兩個序列有相同的極限,那麼就着序列an有相同的極限。

定積分求數列極限區間怎麼找(菜雞速通微積分)6

本文的主題到此結束。下面多說幾句。


前面有個巨大的困難,如果你事先不能明确有個東西叫做π,那麼數列收斂到什麼?這裡涉及兩個原則性的大問題:

1.實數的分析(極限)運算性質完備性和連續性。意思是實數列如果收斂,那麼極限是實數。以及,任何實數,都唯一對應着數軸上的一個點,數軸沒有縫隙

你可能說,廢話,誰不知道π?你可拉倒吧,世界上沒讓人能寫出π的十進制表達式。據說有人能背出上萬位,但是,隻要停下來,就是有限位,這就是有理數!為了避免篇幅,不去談稠密性。所以,如果沒有事先定義好π,e,根号2,.......你根本一步都走不了。

2.實數的代數運算性質,你要談四則運算法則,以及分配律。這裡說的就是三件事:實數關于加法是Abel群,除去0以後對乘法也是Abel群,乘法對加法有左右分配律。極限也要做代數運算,比如極限的和差積商。

此外,實數還必須能夠比較大小,否則你不能使用不等式來說事。

一句話,”實數集是具有上确界性質的有序域“。這就是是微積分絕對的基礎;類似的,複數集也類似有完備性域性質,但有明顯區别,複數不能直接比較大小。這是複分析的基礎。因此,真正有水平的書,都會花大力氣,從邏輯上定義實數。比如

定積分求數列極限區間怎麼找(菜雞速通微積分)7


素材還取自J.stewart的書,

定積分求數列極限區間怎麼找(菜雞速通微積分)8

以及同濟高數。

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