許多人對數學的理解常常停留在高深、抽象的數學證明層面，由此也衍生出了一些“數學無用論”的笑話。

不過，笑話歸笑話，但這卻說明了一個殘酷的現實：在公衆中的确有人對數學的作用不了解，認為數學隻是數學家的遊戲，與實際生活無關，甚至覺得數學對國家社會的發展沒什麼作用。

而真實情況是，數學從它的誕生之日起就打上了應用的烙印。貨物交易、土地測量、曆法等都是古代數學研究的内容。我國古代的數學著作《周髀算經》、《九章算術》、《孫子算經》等等，内容也都是研究日常生活相關的計算問題。

我國古代著名的哲學家老子在《道德經》中寫道：“善數，不用籌策”，意思是善于計數的人不用籌碼也可以進行計算。可見，他對數學的作用也是充分肯定的。“亞聖”孟子是辯論大師，《孟子》中大量應用歸納、演繹、類比等邏輯推理的方法，而邏輯推理也是數學的基礎。

數學還為其他學科的新發現提供了指導和表達形式。這方面例子比比皆是：微分方程為流體力學、微分幾何為相對論、數論為密碼學、博弈論為經濟學的發展都提供了強大的理論支撐。數學是所有自然科學的基礎，也是強有力的工具，對很多其他科學領域的發展起了重要的作用。

不少其他領域的科學家對數學的重要性有充分的闡述。達爾文是舉世聞名的生物學家，他提出了生物進化論學說、出版了著名的《物種起源》。他曾經說過：“任何新發現在形式上都是數學，因為我們沒有其他引導。”達芬奇說：“人類探索如果不能用數學表達，就不能真正稱之為科學”“力學是數學的樂園，因為我們在這裡獲得了數學的果實。”

達爾文（1809-1882）

當然，有些數學家關注的問題是高度抽象的純數學問題，這些問題可能看上去在現實中沒有直接的應用。也有的數學家本身對有應用背景的數學問題興趣不大。因為一旦需要解決實際問題，很多理想的假設不成立，分析和推導就可能不夠完美。總之，對應用有偏見的數學家還是存在的。著名數學家哈代就是其中之一。

哈代認為真正的數學就是不應當與應用挂鈎，而且毫無遮攔地瞧不上應用數學。他在《一個數學家的辯白》中寫到：“真正的數學對戰争沒有影響，……有一些應用數學的分支，……也許很難說它們是‘微不足道的’，但它們沒有一個是‘真正的’數學，它們是令人厭惡的醜陋以及不堪忍受的無趣。”“我沒有做過任何‘有用的’工作。我的發現，無論是直接的還是間接的，無論好還是壞，對這個世界不起任何作用。”

不過，有意思的是，哈代本人的有些工作在實際中确實得到了應用。比如，哈代-拉馬努金漸進公式在統計物理中派上了用場，也被著名物理學家玻爾用于原子核量子分區函數的計算。這足以反駁哈代的“數學無用論”。

好在像哈代這樣偏執的數學家是極少數。大多數學家都認識到數學必須與實際緊密結合。俄國數學家切比雪夫曾诙諧地說：“使數學脫離實際需求，就好比把母牛關起來不讓它接觸公牛。”切比雪夫在素數理論、函數逼近等方面有着重要貢獻，切比雪夫多項式、切比雪夫不等式都是以他命名的。

切比雪夫（1821-1894）

總之，數學的應用随處可見。印度作家夏琨塔拉·戴維曾說過：“沒有數學，你什麼也不能做。你周圍所有的東西都是數學，你周圍所有的東西都是數字。”

2020年，國際數學聯盟慶祝首屆國際數學節的主題詞就是“數學無處不在”。這正是向公衆宣傳數學在各行各業正發揮着重要作用。

我們再舉幾個數學發揮重要作用的例子。第一個例子是CT成像，CT肺部影像是幫助醫生确診該病的重要依據，而它的原理其實是數學中的拉東變換。

拉東是奧地利數學家，他在變分法、微分幾何、測度論等方面有重要貢獻，拉東變換就是以他命名的。

數學還在土木工程中發揮了重要作用。無論是橋梁、水壩，還是高層建築，在設計中都需要用到有限元方法對其結構進行應力分析。

有限元方法是求解微分方程的一類數值方法。二十世紀50年代末至60年代初，我國計算數學的奠基人和開拓者馮康在解決大型水壩計算問題的集體研究實踐的基礎上，獨立于西方創造了一套求解偏微分方程問題的計算方法，當時他稱之為“基于變分原理的差分方法”，也就是如今所指的有限元方法。1984年，馮康還開創性地提出了基于辛幾何以計算哈密頓體系的方法，即哈密頓體系的保結構算法。此類算法在天體軌道計算等諸多方面有廣泛應用，他因此獲得了1997年國家自然科學獎一等獎。

1982年，他推薦筆者（時為他的碩士生）去劍橋大學攻讀博士學位，學習優化理論，并對筆者說：“你要出國就不要學有限元，要學有限元就不要出國！”大有“老子有限元天下第一”的自信和霸氣。馮康一家人都是國之棟梁，他的姐夫葉笃正是著名氣象學家，曾獲國家最高科學技術獎。弟弟馮端是著名物理學家。

馮康（1921-1993）

在地球勘探中，為什麼我們能知道看不見、摸不着的地下結構，了解油、氣、煤等資源的分布情況呢？除了鑽井直接取樣這樣的高成本方法，更多的是依賴間接的方法，即地球物理勘探，而其核心則可以歸結于數學中的求解微分方程反演問題。

數學在天氣預報中同樣發揮着核心作用。現代天氣預報的準确性不僅依賴先進的探測技術（如衛星、雷達），更需要倚靠先進的數值天氣預報模式以及快速的計算方法。而後者在本質上都是數學問題。我國著名氣象學家、應用數學家曾慶存曾獲得2019年度國家最高科技獎，他也是世界上第一個用原始方程進行天氣預報的科學家。

曾慶存（1935-）

在航空領域，飛機的外形設計、航空發動機的設計等等最終都是要解決數學、物理問題。這些問題實質是複雜的流體力學問題。在飛機設計中，數學數值方法的引入可以大大降低風洞實驗的次數，從而極大地縮小設計周期和成本。

在航天領域，數學同樣也起着至關重要的作用。在飛行軌道選擇、推力規劃方案制定、航天器有效載荷布局設計等等都有賴于數學方法。這其中，無論是衛星還是火箭軌道，拉格朗日點是一個必知的概念。事實上，拉格朗日是出生在意大利的法國數學家、力學家、天文家，他在變分法、微分方程、數論等數學的多個分支有傑出貢獻，有拉格朗日中值定理、拉格朗日内插法、拉格朗日乘子法等許多以他命名的方法和定理。

在大數據、人工智能等領域的問題，其核心問題也幾乎都是數學問題。例如，通過機器自動識别手寫阿拉伯數字，自動識别信封上的郵政編碼、提高分揀效率。而通過機器學習的手段“訓練”計算機“識别”不同的手寫數字本質上就是利用已有數據建立分類模型并對新數據進行分類。同樣地，語音識别、指紋識别、虹膜識别等問題的核心都可以歸結為數學上的優化問題。

自動導航和自動駕駛等能夠得以實現，實質都是人類利用數學的方法和手段訓練計算機、編寫程序，使得計算機擁有這些能力。其中的道路規劃，無論是路徑最短還是時間最短，都可以歸結為圖與網絡流的優化問題。

數學在圖像分析和圖像處理的發展中也起着關鍵作用。比如，圖像去噪實際上就是求解稀疏優化問題。如下圖，通過求解一個數學問題，我們就可以把一個加了噪聲的照片（右）恢複成原始清晰的照片（左）。

壓縮感知技術也是圖像處理中運用較多的技術，為的是用最少的存儲單位記錄盡可能清晰的圖像。這個問題在科學、工程以及國防等諸多方面有重要應用，該問題的核心是求解一個大規模（變量個數幾千萬甚至上億）的線性方程組問題，并且希望求得的解盡可能稀疏（即盡量多的分量為零）。這個問題描述起來很簡單，但本質上是一個非常困難的問題（NP難問題）。陶哲軒等人證明了該困難問題在一定條件下等價于1-範數優化問題（容易問題）。陶哲軒是出生于澳大利亞的華裔數學家，他在中學就獲過奧賽金牌，後來得了菲爾茲獎，在數論、調和分析、偏微分方程、組合論等多個方向有突出貢獻，一度被稱為“世界上最聰明的人”。

我們還可以利用數學方法将一張照片進行有趣的圖片編輯。比如，給一張紅葉的照片，再拿一張黃葉樹的照片提供色彩方案，就能得到一張黃葉照片。在數學上，其實就是采用最優傳輸算法将一個概率分布轉換為另一個概率分布，從而實現照片的轉換。

讀者們可能很難想象，微分幾何這樣的純數學在圖像處理中也發揮着巨大作用。傳統的腸鏡檢查往往給病人帶來痛苦和不适，讓人望而卻步。而虛拟腸鏡技術利用CT掃描獲得斷層圖像，經過分割和三維重建，即可得到腸子的三維模型。在物理上類似于把腸子給切割、抻開，從而在二維平面上進行病理檢測。這種技術就是利用了數學的裡奇流作為工具将彎曲的曲面保角地變換到平面上。

裡奇流是美國數學家漢密爾頓1982年定義的，以意大利數學家裡奇的名字命名。裡奇流這一工具在俄羅斯天才數學家佩雷爾曼證明龐加萊猜想中發揮了巨大作用。佩雷爾曼是一位傳奇的數學家，他拒絕接受菲爾茲獎，還拒絕了Clay研究所提供的百萬美金的獎金。

在通訊中，數學也起着至關重要的作用。通訊編碼方式、天線設計、通訊資源優化配置等本質上都是數學問題。我國在5G領域處于國際領先地位，而5G标準正是基于土耳其數學家阿勒坎提出的極化碼理論。

在戰争中，能否破譯敵方密碼對戰争的走勢影響巨大。事實上，無論密碼設計還是密碼破譯都是數學問題。日常生活中，常見的密碼是摩爾斯電碼，用“短”“長”兩種電信号進行編碼，在數學上就是用二進制來表示。短促的記為點“・”，長的記為“—”。最常用的是求救信号：“・・・”“— — —”“・・・”（SOS）。用光信号同樣可以用快速地閃三下，然後拉長時間閃三下，再快速閃三下來表示SOS。這也是野外徒步或探險往往會裝備強光手電筒的緣由。發明這種密碼的摩爾斯是美國畫家，也是一位發明家。

談到管理科學、金融經濟等領域的發展，數學更是居功至偉。金融衍生産品的定價、投資理财等本質上都是數學問題，涉及到随機分析、統計、微分方程、運籌等等。衆所周知，諾貝爾獎沒有數學獎。但不少數學家獲得過諾貝爾經濟學獎。其中之一是美國數學家納什。他廣為人知的主要原因是好萊塢電影《美麗心靈》就是以他的傳奇故事為原型的。納什創建了對策論的數學原理，即納什平衡理論，該理論在商業決策中有着廣泛應用。他也因此獲得了1994年的諾貝爾經濟學獎。納什還因其在微分方程方面的貢獻獲得了2015年的阿貝爾獎。

納什（1928-2015）與夫人2002年于北京

生命科學中的許多重要問題，如蛋白質折疊、基因比對、藥物設計等都需要利用數學方法。以蛋白質折疊為例，僅知道基因組序列并不足讓我們充分了解蛋白質的功能。而結構決定功能，因此獲取蛋白質折疊後的三維結構至關重要。而蛋白質折疊的過程和最終結構都可以通過數學方法進行模拟和預測。

上面許許多多的例子告訴我們，數學的确無處不在。自然和生活中出現的任何現象，我們都可以用數學理論、數學方法進行分析和解釋。著名數學家拉普拉斯曾說過：“大自然的一切都是少數永恒規律的數學推論”。

拉普拉斯（1749-1827）

注：本文節選自《數學漫談》一書，作者袁亞湘。

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來源：賽先生

編輯：冬眠愛好者