作者 | 劉洋洲

來源 | 轉自知乎專欄《萬物皆數也》，“數學英才”獲授權轉載，在此感謝！

問：周期函數的和函數還是周期函數嗎？

例如對于函數：

• 當是有理數時，設，容易驗證是其周期；

• 當是無理數時，還存在周期嗎？

• 設是周期函數，正周期分别為，的周期性呢？

圖1：大緻的趨勢呈周期性，但細看之下又不盡相同。

我們尤其對于是連續函數的情形感興趣。

連續性之于微積分猶如基石一般。劉慈欣在科幻小說《三體》中對于“水滴”（三體文明制造的宇宙探測器）的描寫我認為是對連續性很生動的體現：

探測器的大小與預想的差不多，長三點五米，丁儀看到它時，産生了與其他人一樣的印象：一滴水銀。探測器呈完美的水滴形狀，頭部渾圓，尾部很尖，表面是極其光滑的全反射鏡面，銀河系在它的表面映成一片流暢的光紋，使得這滴水銀看上去純潔而唯美。它的液滴外形是那麼栩栩如生，以至于觀察者有時真以為它就是液态的，根本不可能有内部機械結構。

……一千萬倍！在這個放大倍數下，已經可以看到大分子了，但屏幕上顯示的仍是光滑鏡面，看不到一點兒粗糙的迹象，其光潔度與周圍沒有被放大的表面沒什麼區别。

連續性就像使用拿顯微鏡不斷擴大倍數檢驗水滴表面的過程：

定義（連續性）

設函數. 我們稱函數在處連續，若滿足以下性質：對任意，存在，若，則 所謂連續函數，是指在定義域的每一點都連續。

就好像是人類對水滴表面緊密程度的預期，而則是顯微鏡所需要達到的微觀尺度，真正的連續則是一個永無止境的檢驗過程。而非連續則一定止步于某一步——發現其斷崖。

一個很自然的結論就是——

當函數在處連續，則

即當函數自變量趨于點，則函數值趨于點處的函數值。

常數函數的判定方法

設是周期函數，正周期分别為. 注意最小正周期可能不存在，例如Dirichlet函數：

容易驗證任意有理數都是的周期。不過非常值連續函數一定有最小正周期[4]。

首先我們證明一個基本結論，這個結論可以幫助我們通過周期性來判定常數函數。先是一個引理——

引理0若都是的周期，則是的周期。

證略。

反複利用上面的該引理，運用輾轉相除法，可以求出更小的正周期，當時，即兩周期公度，這個過程将在有限步驟結束。

輾轉相除法，就是對給定的兩個數進行帶餘除法，将得到的餘數作為新的除數，原來的除數作為被除數，反複進行以上步驟。通常是用來求兩個整數的最小公倍數。

例如，給定

最後一個非零餘數就是最小公倍數，即

輾轉相除法

### R語言#q與r是整數，q >= rwhile(r != 0){t = q%%rq = rr = t #帶餘除法的餘數}q #此為最終結果

如果這個過程可以無限進行下去，即（非公度），那麼新周期會不斷下降趨于零。這是因為帶餘除法總是滿足餘數比除數小，于是則分兩種情況：

• 若，于是餘數相較除數下降一半（此餘數将是下一輪帶餘除法的除數）；

• 若，則再次進行輾轉相除時，得到，而，于是仍是對半。

綜上可以判斷，，其極限顯然是零：

定理1若都是連續函數的周期，且兩者周期非公度，則是常數函數。

證：通過上面分析，我們總可以得到充分小的周期反證法。不妨設，若，則構造

根據确界原理（有上界必有上确界）可知其極限存在性，. （否則，我們可以選擇添加更小的來逼近）。于是有

但是這與函數的連續性矛盾：

于是隻能是常數函數。

周期函數的和函數

接下來我們去探究函數的周期性。

命題2如果兩者周期之比，則是周期函數。

證：設最簡整數比，即，于是就是的周期。

如果，即兩者之比是一個無理數，那麼我們就可以說是非周期函數嗎？

命題3設是非常數的連續周期函數，如果兩者周期之比，則（以及其倍數）不是的周期。

證：否則，即

這說明有兩個周期，且兩者非公度，則由定理1可知是常數函數，矛盾。同理可以證明也不是 的周期。

定理4設是連續周期函數，如果兩者周期之比，則存在拟周期：，存在常數，滿足

證：我們考慮的拟周期。取有理數列逼近 ：

蘊含：, 當時，有

其中. 令（或者），我們稱之為 的拟周期，這是因為

其中

這個定理反應了圖1的現象。

引理5兩周期函數至少一個連續、一個有界，若兩最小正周期不可公度，則兩函數的和不是周期函數。[1]

證：簡述一下證明思路。反證法，假設存在周期：

移項得到

由的構造可知它有兩個不可公度的周期，分别是，利用定理1的技巧，可以證明是常數函數，即

可得

不妨設有界，那麼隻可能，即，這與不可公度相矛盾。

例6是非周期函數，其中是無理數。[2]

利用上面的結論立即可知其成立。事實上這個函數的非周期性證明還有比較初等的方法：反證法。若存在周期，即

移項（這個技巧在剛才的證明已經出現過了），

再利用和差化積公式：

再進行平移變換，

我們令，上式左邊為0，右邊由的無理性則不為0，矛盾。

定理7兩周期函數至少一個連續，且兩函數之積在任何點處非零，若兩最小正周期不可公度，則兩函數的積不是周期函數。[3]

證明思路同定理5。需要構造函數

然後證明這個函數

參考文獻

[1] 謝惠民, 沐定夷. 吉米多維奇數學分析習題集學習指引[M]. 高等教育出版社, 2011.

[2] 汪林. 數學分析中的問題和反例[M]. 高等教育出版社, 2015.

[3] 趙顯曾. 數學分析拾遺[M]. 東南大學出版社, 2006.

[4] 裴禮文. 數學分析中的典型問題與方法.第2版[M]. 高等教育出版社, 2006.

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