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初中幾何公式大全及解題方法
初中幾何公式大全及解題方法
更新时间:2025-04-04 19:32:12

初中幾何中經常會遇到證明邊長比例關系的問題。現在總結一下常見的幾種方法技巧。以證明三角形角平分線定理為例。

三角形角平分線定理:

在△ABC中,AD是∠BAC的平分線,則AB/BD=AC/CD。

方法1:利用相似三角形的比例關系(相似法)

(這是證明線段長度比例關系最常用的方法)

證明的關鍵是“構造相似三角形”,“做平行線構造相等角度”是構造相似三角形的最常用方法。

初中幾何公式大全及解題方法(初中幾何解題技巧)1

過C作CE∥AB,交AD的延長線于E

∵CE∥AB

∴∠ABC=∠BCE,且∠BAD=∠AEC(平行線形成的内錯角相等)

∴△ABD∽△ECD

∴AB/EC=BD/DC

∵AE是∠BAC的角平分線

∴∠CAE=∠CEA,即△ACE是等腰三角形,AC=EC

于是得到:AB/AC=BD/DC。證畢。

方法2:利用圖形面積的比例關系證明線段的比例關系(面積法)

(很多看似複雜不知該如何構造相似三角形的問題可以嘗試)

在△ABC中,AD是∠BAC的平分線

過點D作DE⊥AB,DF⊥AC

初中幾何公式大全及解題方法(初中幾何解題技巧)2

∵AD是∠BAC的平分線,DE⊥AB,DF⊥AC

∴DE=DF

∵2S△ABD=AB×DE且2S△ACD=AC×DF

∴S△ABD:S△ACD=AB:AC

又∵S△ABD:S△ACD=BD:CD(同高,面積比例為底邊比例)

∴S△ABD:S△ACD=AB:AC=BD:CD

∴AB:AC=BD:CD

方法3:代數法(利用正弦定理、餘弦定理計算邊長的數量關系)

正弦定理:△ABC中,∠A、∠B、∠C對邊分别為 a、b、c。

則有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(R為三角形外接圓半徑)

初中幾何公式大全及解題方法(初中幾何解題技巧)3

根據正弦定理有:

AB/BD=sin∠ADB/sin∠BAD

AC/CD=sin∠ADC/sin∠CAD

∵∠ADB與∠ADC互為補角

∴sin∠ADB= sin∠ADC

∵AD為∠BAC的平分線

∴sin∠BAD= sin∠CAD

∴AB/BD= AC/CD,即AB/AC=BD/CD

以上是總結的幾種證明邊長比例關系的常用方法。在遇到類似問題時,腦海中應當迅速地遍曆一下這幾種方法并進行心算推演,一定會大大提升解題效率。

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