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九年級數學射影定理
九年級數學射影定理
更新时间:2025-04-02 07:18:04

現在的初中課本上并沒有射影定理,但是很多老師都會額外講一下,很多同學都有這樣一種感覺:當時明明記住結論了,但是過幾天就搞不清楚到底是誰的平方等于誰乘誰了,那怎樣才能準确地記住射影定理,再也忘不掉呢?其實隻需要一句口訣。

一、射影定理

九年級數學射影定理(射影定理結論巧記及證明)1

如圖,在RT△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,則有如下結論:

①AC²=AD·AB

②BC²=BD·AB

③CD²=AD·BD

這三個結論就叫做射影定理。

二、助記口訣

樹平方=影乘積

把AC看作樹,光線沿CD方向照射的影子是AD,光線沿CB方向照射的影子是AB;

把BC看作樹,光線沿CD方向照射的影子是BD,光線沿CA方向照射的影子是AB;

把CD看作樹,光線沿CA方向照射的影子是AD,光線沿CB方向照射的影子是BD.

三、證明

三個結論都可以通過相似來證明,圖中的三個三角形都彼此相似,任意兩個相似三角形可得出一個結論,共3個結論。

證明:

①∵∠CDA=∠BCA=90°,∠A=∠A

∴△CAD∽△BAC

∴AC/AB=AD/AC

∴AC²=AD·AB.

②∵∠BDC=∠BCA=90°,∠B=∠B

∴△BCD∽△BAC

∴BC/AB=BD/BC

∴BC²=BD·AB

③∵∠ACD ∠BCD=90°,∠CBD ∠BCD=90°

∴∠ACD=∠CBD,又∵∠CDA=∠BDC=90°

∴△CAD∽△BCD

∴CD/BD=AD/CD

∴CD²=AD·BD

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