這是在今日頭條上看到的初中幾何題，老師說全班竟然全軍覆沒，毫無疑問是個難題，做難題才能更好地鍛煉學生的思維能力。
幾何難題
題目一目了然：一個三角形，兩個角為45°和22.5°，45°角的對邊是7，求三角形的面積。
花了一些時間思考。在三角形裡面作輔助線沒有找到好方法，于是想到在三角形外面作輔助線。
其實這個題目就是：一個等腰直角三角形，從一個45°角作角平分線，角平分線長度為7，求其他各條線段的長度。線段的長度求出來了，三角形的面積也就求出來了。
延長BA到D，使BD=CD，則△BCD為等腰直角三角形，CA是角平分線。
作輔助線
設CD=x，利用勾股定理得到AD=√(7²-x²)，利用角平分線定理得到AB=√2√(7²-x²)。
因為BD=CD，所以：
√(7²-x²) √2√(7²-x²)=x。
解方程得：
x²=7²×(2 √2)/4。
這樣，各線段的長度都可以求出。
S△ABC=49/4。
也可以用勾股定理BD² CD²=BC²來列方程解出x。
高中生用三角函數可以快速解出：
作AD⊥BC。則
S△ABC=7sin22.5°(7sin22.5° 7cos22.5°)/2
=7²√2sin22.5°sin67.5°/2
=7²√2sin45°/4=49/4。
作輔助線AD
再來看老師的解答，好像似曾相識。翻出草稿紙，我畫過的圖與老師畫的一樣。
老師的解答
當時想了一下沒有往下做，在一個簡單的地方出現了盲點，思考的方向是去找與7有關的特殊圖形，而忽略了直接用勾股定理去解。我有的時候會有這種情況，明明是一個簡單的題目，卻不在解題狀态。
沒有做下去的圖形
放棄了這種思路以後，卻用另外的方法做出來了，事後想起來還是挺有意思的。
這裡是輕松簡單學數學，分享解題的思考過程，讓你清楚地知道方法與路徑。
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