首页
/
每日頭條
/
圖文
/
圓錐曲線三角形面積最大值大題
圓錐曲線三角形面積最大值大題
更新时间:2025-04-26 14:06:18

前面的《探索:為什麼1/x,1/x^2曲線下的面積一個是無窮大,而另一個是1》一文中我們從兩個相似的函數所圍成的面積中得出兩種截然相反的結果,也得出一條重要結論:當x趨于無窮大時,雖然兩個函數都趨于0,但變化越快的函數所圍成的面積是個定值的,變化慢的函數所圍成的面積是趨于無窮大的。你在學微積分時是否有注意到這個現象。

圓錐曲線三角形面積最大值大題(在無窮大環境下曲線所圍成面積的有趣特性)1

此外,我們繼續延伸,将面積收斂的1/x^2函數,換成1/(x^2 1),在x趨于無窮大時,它的面積又是怎麼樣的呢?首先我們來猜測一下,x 在∞時,1/x^2所圍成的面積是存在的,那麼1/(x^2 1)所圍成的面積肯定存在,因為,在無窮大的情況下1/x^2=1/(x^2 1)

圓錐曲線三角形面積最大值大題(在無窮大環境下曲線所圍成面積的有趣特性)2

/x^2的函數圖形隻有右邊區域,但1/(x^2 1)分母中有了一個1從而避免了分母為0的可能,所以1/(x^2 1)的圖形包含左右對稱的兩邊。也就是一個偶函數

我們繼續分析1/(x^2 1)在無窮大時的狀況,如果你查閱了積分表,或者精通無窮級數的話一眼就可看出,它是一個特殊的積分:就是tanx的反函數,即反正切函數

圓錐曲線三角形面積最大值大題(在無窮大環境下曲線所圍成面積的有趣特性)3

首先在tanx=0時,x肯定等于0,那麼當tanx=∞時,根據你的初高中知識,立馬得出x=π/2

或者你可以從另外的角度理解:tanx=sinx/cosx,在什麼情況下斜率tanx最大呢,肯定是sinx=1,cosx=0時最大,所以x=π/2。

圓錐曲線三角形面積最大值大題(在無窮大環境下曲線所圍成面積的有趣特性)4

将x換成t趨于正無窮大時,就得到曲線下的面積是π/2,為了獲得趨于負無窮大另一半的面積,又因為這是一個偶函數,是關于y軸對稱的,所以1/(x^2 1)所圍成的整體面積就是π

圓錐曲線三角形面積最大值大題(在無窮大環境下曲線所圍成面積的有趣特性)5

圓錐曲線三角形面積最大值大題(在無窮大環境下曲線所圍成面積的有趣特性)6

你會驚訝的發現它的面積居然和π有關,我們一般隻有在處理圓周問題時才會看到π,但這裡是沒有圓周的,這是數學中令人驚歎的神秘的例子之一。

我們再來看另一個例子,如下明顯涉及到漸近線問題,漸近線有水平和垂直漸近線之分

圓錐曲線三角形面積最大值大題(在無窮大環境下曲線所圍成面積的有趣特性)7

如果我們向右移動垂直漸近線,這裡的t可以替換任意值,注意從這裡你是否可以發現如何求一個函數的漸近線,即x趨于∞時,對應的y值是個常數,那麼這個常數就是x的水平漸近線,反之就是y的垂直漸近線。

圓錐曲線三角形面積最大值大題(在無窮大環境下曲線所圍成面積的有趣特性)8

如下你看,x=2時,y值趨于無窮大,所以x=2是y的垂直漸近線

圓錐曲線三角形面積最大值大題(在無窮大環境下曲線所圍成面積的有趣特性)9

這個函數不同于以上的,隻有在x取某個具體數值時,整體函數才會處于無窮大的狀态

圓錐曲線三角形面積最大值大題(在無窮大環境下曲線所圍成面積的有趣特性)10

經過簡單的變化,你可以得出這個函數所圍成的面積。

圓錐曲線三角形面積最大值大題(在無窮大環境下曲線所圍成面積的有趣特性)11

你會發現我們求得在這些在無窮大環境下的積分面積和在有限區間内的積分性質是一樣的,隻不過在無窮大環境下更能體現一個函數的真實狀況和完整的特性。這在無窮級數裡面也表現得淋漓盡緻。

圓錐曲線三角形面積最大值大題(在無窮大環境下曲線所圍成面積的有趣特性)12

以上都是一些習以為常的函數,也許曾經并未引起你的注意,而就是這些不起眼的例子,卻隐藏着豐富的數學知識。

留給夥伴一個思考題:1/(x^2 1)和1/x^2雖然在趨于無窮大時,兩者是等價的,但為什麼在1到 ∞時:1/(x^2 1)曲線下的面積反而大于1/x^2曲線下的面積,雖然它們相差的數值小于1。

,
Comments
Welcome to tft每日頭條 comments! Please keep conversations courteous and on-topic. To fosterproductive and respectful conversations, you may see comments from our Community Managers.
Sign up to post
Sort by
Show More Comments
推荐阅读
菩薩蠻溫庭筠每句韻腳
菩薩蠻溫庭筠每句韻腳
《花間集》由後蜀人趙崇祚所編,本詞集雖然在成書時間上比不上《雲謠集》更古早,但是它在我國文學史上卻處于更重要的地位。《花間集》共十卷,收錄了從晚唐到五代共十八位詩人的詞作,這些詩人中絕大多數是當時活躍在後蜀的詩人。“花間”詞人多是秾麗之風,...
2025-04-26
hay武漢旗艦店
hay武漢旗艦店
hay武漢旗艦店?據赢商網了解,丹麥家居設計品牌HAY即将于11月1日在新光天地重慶正式揭幕這也是HAY在繼北京、上海、成都等地開店後首次進入重慶,下面我們就來說一說關于hay武漢旗艦店?我們一起去了解并探讨一下這個問題吧!hay武漢旗艦店...
2025-04-26
方和圓的筆法
方和圓的筆法
學習書法,就要懂得筆法,筆法就是用筆方法,通俗地說,就是每一個筆畫的書寫方法。而其中最具代表性的就是方筆和圓筆的運用,方筆與圓筆同許多筆畫因素是相通的。圓筆可涉及逆入、中鋒、藏鋒、提筆、轉筆等;方筆可聯系切入、側鋒、露鋒、頓筆、折筆等。由用...
2025-04-26
馬天宇演戲越來越純熟
馬天宇演戲越來越純熟
文/馬慶雲11月21日晚間,江蘇衛視播出《石頭開花》第9集和第10集,名為《怒放的山花》的單元劇。在這個單元劇當中,人氣演員馬天宇終于上線,飾演一位駐村的扶貧幹部,擔任主任助理職務,幫助山民們種植石斛,并且最終取得成功,實現石頭開花,并且産...
2025-04-26
每天做這五個動作練出大長腿
每天做這五個動作練出大長腿
宅家抗疫身體健康至關重要下肢力量在我們的生活中占有十分重要的地位在家如何有效進行下肢力量訓練呢?今天,小體為你準備了5組簡單的“家庭蹲”動作讓我們一起蹲起來!靠牆靜蹲保持軀幹正直,頭部向上延伸,下背脊緊貼牆壁,動作過程中鼻吸口呼,目視前方,...
2025-04-26
Copyright 2023-2025 - www.tftnews.com All Rights Reserved