"回文"是指正讀反讀都能讀通的句子，它是古今中外都有的一種修辭方式和文字遊戲，如"我為人人，人人為我"等。在數學中也有這樣一類數字有這樣的特征，成為回文數（palindrome number）。

一個自然數，如果從左向右看和從右向左看數字都一樣，換句話說，就是"數字排列左右對稱"，就把它叫做"回文數"。比如121、5335、6084806都是回文數。當然，由同一個數字組成的數，如11，999也是回文數。回文數還要一個比較文藝的名字。巴克敏斯特·福樂在其著作《協同學》（Synergetics）中把回文數也叫做沙拉紮數（Scheherazade Numbers），沙拉紮是《一千零一夜》中那位講故事的王妃、即宰相的女兒的名字。

有人發現：如果給一個自然數，加上它的倒序數（就是把它的數字順序倒過來所組成的數），再對所得的和重複這個步驟，一般說來，經過有限次計算，就會得到一個回文數。

比如，84＋48＝132，132＋231＝363，363就是個回文數。

再比如，95＋59＝154，154＋451＝605，605＋506＝1111，1111就是個回文數。

有時候可能需要重複的步驟比較多一些。

比如，97＋79＝176，176＋671＝847，847＋748＝1595，1595＋5951＝7546，7546＋6457＝14003，14003＋30041＝44044，44044就是個回文數。

再比如，198＋891＝1089，1089＋9801＝10890，10890＋09801＝20691，20691＋19602＝40293，40293＋39204＝79497，79497就是個回文數。

人們對大量的自然數進行了這樣的計算，都得到了回文數。可是，偏偏有一個數很不一般，這個數就是196。讓我們試試看：

196＋691＝887，887＋788＝1675，1675＋5761＝7436，7436＋6347＝13783，13783＋38731＝52514，52514＋41525＝94039，94039＋93049＝187088，187088＋880781＝1067869，1067869＋9687601＝10755470，10755470＋07455701＝18211171，上述步驟重複進行了10次，還沒有結果，果然非同尋常。其實，早就有人用電腦把這個步驟重複進行了數十萬次，也沒有得到回文數，并且，也沒有發現循環的迹象，所以還無法判斷繼續進行下去，究竟能不能得到一個回文數。

196這個數不算大，看起來也沒有什麼特殊的地方，可是求回文數的方法，遇見它竟然不靈了。真應了那句俗話：大江大海都過了，卻在小河溝裡翻了船。要不怎麼會說，自然數是個充滿奧秘的世界呢！

思考問題：兩位數中隻有9個回文數，它們是11，22，33，44，55，66，77，88，99.三位數中的回文數，由前兩位數确定，共有9x10=90個，它們是111，121，131，…，212，222，…，989，999.四位數的回文數共有9x10=90個。

五位數的回文數會有幾個呢？聰明的小朋友用你學過的排列知識來算一算吧！

回文數有兩種：同數回文數和對稱回文數，茲僅以對稱回文數作例。

對稱回文數：這一類的回文數都有對稱的特點，順讀倒讀數字次序不變，如：101、12321、32123等。此類回文數的形式多位數的乘法裡面的"鏡反數"，又叫對稱數；有以下幾種。

第一種形式：以1組成的系列數，其将平方得到回文數，如：

11（平方）=121，

111（平方）=12321，

1111（平方）=1234321，

……………………

111111111（平方）=12345678987654321，

用立方也有類似情況：11（立方）＝1331，111（立方）＝1367631。

第二種形式：以9做被乘數，1089做乘數，得9801。得數是乘數的回文數。如果在中間填n個9，會得出n個得數是乘數的回文數。

9x1089＝9801，

9x10989＝98901，

9x109989＝989901，

9x1099989＝9899901，

…………………………

9x109999999989＝989999999901

注意到了，上面的粗體數字和等号兩邊的粗體數字，他們是對稱的。

特殊地，回文素數：2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151,181,191,…

回文完全平方數：0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321,…

既是素數又是回文數的數，比如11，101，757等等，除了11以外，其餘回文素數的位數都是奇數。雖然，數學家們相信回文素數有無窮多個，但這也是尚無法證明的猜想。人們借助電子計算機發現，在完全平方數、完全立方數和完全四次方數中的回文數，其比例要比一般自然數中回文數所占的比例大得多，如 121=11²，14641=121²，40804=202²，343=7³，1331=11³，1030301=101³，等都是回文數。

回文素數是否有無窮多個，也是個尚未解決的公開問題。根據在線整數序列百科全書OEIS編号A050251發布的最新結果，已經知道小于1023的回文素數個數有22170468927個。目前已知的最大回文素數是2014年11月發現的10474500 999 · 10237249 1，這是一個474501位數。

Clifford A. Pickover發現了回文素數1000000000000066600000000000001,中間三個數字是666，兩邊各有13個0。在英美文化中，666被認為是野獸數，13代表黴運，這個數有31位，又是13的倒寫。于是Pickover稱這個回文素數為貝爾菲戈爾素數（Belphegor's prime），貝爾菲戈爾是傳說中的惡魔。

在數量衆多的回文素數中隐藏着一些有趣的數。G. L. Honaker, Jr.構造出一個金字塔形式的回文素數列表：

思考問題：

(1).任取一個正整數，與它的倒序數相加，若其和不是回文數，再與其倒序數相加，重複這一步驟，一直到獲得回文數為止。例如：68 ，

68 86=154

154 451=605，

605 506=1111，

于是有數學家提出一個猜想：不論開始采用什麼整數，在經過有限次倒序相加步驟後，都會得到一個回文數。至今還不知道這個猜想是對還是錯的。

(2).有一些自然數，從左向右讀與從右向左讀是完全一樣的，我們将這樣的數稱作“回文數”。比如2332，181，77都是回文數。有些六位回文數除以95的商也是回文數，符合要求的六位數有幾個，分别是多少？

12345678987654321這個數有這樣一個特點，各數位上的數字從左到右逐漸增大（由1到9，是連續自然數）到蹭數9時，達到頂峰，以後又逐漸減小（由9到1），它活像一隻橄榄，我們姑且稱它為橄榄數（是一種特殊的回文數）。有趣的是它還是一個完全平方數呢？你知道它是哪個數的平方嗎（學過開方的同學，也希望你根據這個數的特點，分析出這個數來）？

12345654321也是一個橄榄數，它是哪個數的平方呢？告訴你這個數還能被3、7、11、13、37整除呢？

解：因為1＝1，2＝1＋1，3＝1＋1＋1，4＝1＋1＋1＋1，5＝1＋1＋1＋1＋1，6＝1＋1＋1＋1＋1＋1，7＝1＋1＋1＋1＋1＋1＋1，8＝1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1，9＝1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1。

所以12345678987654321可以分成下面九項的和，即：

寫成上面形式後，大家可能不再感到陌生了，它是111111111×111111111

直式計算的一部分，所以12345678987654321＝1111111112。

同樣可以求出：121＝112，12321＝1112，1234321＝11112，123454321＝111112，

12345654321＝1111112，1234567654321＝11111112，123456787654321＝111111112。

從上面各橄榄數中，可以發現橄榄數中間的哪個數與和它相等的兩次幂中底數的1的個數相等，即：

（其中n＝1，2，…，9）。由于12345654321＝1111112，而111111能被3，7，11，13，37整除，所以12345654321也能被3，7，11，13，37整除，并且有12345654321＝32×72×112×132×372。