一、以數助形

“數（代數）”與“形（幾何）”是中學數學的兩個主要研究對象，而這兩個方面是緊密聯系的．體現在數學解題中， 包括“以數助形”和“以形助數”兩個方面．“數”與“形”好比數學的“左右腿”．全面理解數與形的關系，就要從“以數助形”和“以形助數”這兩個方面來體會．此外還應該注意體會“數”與“形”各自的優勢與局限性，相互補充．“數缺形時少直覺，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事非．”華羅庚的這四句詩很好地總結了“數形結合、優勢互補”的精要，“數形結合”是一種非常重要的數學方法，也是一種重要的數學思想，在以後的數學學習中有重要的地位．

要在解題中有效地實現“數形結合”，最好能夠明确“數”與“形”常見的結合點，，從“以數助形”角度來看，主要有以下兩個結合點：（1）利用數軸、坐标系把幾何問題代數化（在高中我們還将學到用“向量”把幾何問題代數化）；（2）利用面積、距離、角度等幾何量來解決幾何問題，例如：利用勾股定理證明直角、利用三角函數研究角的大小、利用線段比例證明相似等．

【說明】利用勾股定理證明垂直關系是比較常用的“以數助形”的手法．另外，熟練的代數運算在這道題中起到了比較重要的作用．代數運算是學好數學的一個基本功，就像武俠小說中所說的“内功”，沒有一定的内功，單單依靠所謂的“武林秘笈”是起不了多少作用的．

二、以形助數?xml:namespace>

幾何圖形具有直觀易懂的特點，所以在談到“數形結合”時，更多的老師和學生更偏好于“以形助數”，利用幾何圖形解決代數問題，常常會産生“出奇制勝”的效果，使人愉悅．幾何直觀運用于代數主要有以下幾個方面：

（1）利用幾何圖形幫助記憶代數公式，例如：

正方形的分割圖可以用來記憶完全平方公式；

将兩個全等的梯形拼成一個平行四邊形可以用來記憶梯形面積公式；等等．

（2）利用數軸或坐标系将一些代數表達式賦予幾何意義，通過構造幾何圖形，依靠直觀幫助解決代數問題，或者簡化代數運算．比如：

絕對值的幾何意義就是數軸上兩點之間的距離；

數的大小關系就是數軸上點的左右關系，可以用數軸上的線段表示實數的取值範圍；

互為相反數在數軸上關于原點對稱（更一般地：實數?xml:namespace>與在數軸上關于對稱，換句話說，數軸上實數關于的對稱點為）；

利用函數圖像的特點把握函數的性質：一次函數的斜率（傾斜程度）、截距，二次函數的對稱軸、開口、判别式、兩根之間的距離，等等；

一元二次方程的根的幾何意義是二次函數圖像與軸的交點；

函數解析式中常數項的幾何意義是函數圖像與軸的交點（函數在時有意義）；

銳角三角函數的意義就是直角三角形中的線段比例．

【說明】一元二次方程，一元二次不等式均與二次函數有密切的關系，有關二次方程、二次不等式中較繁難的問題運用二次函數的圖象來解決常常會起到意想不到的效果．

【說明】本題一開始為什麼要對不等式作這樣的變形？希望大家在完全理解這道題的解題思路後認真思考一下這個問題，習慣對這類問題的反思在高中數學學習中非常重要．

利用函數圖象解決不等式問題是一種比較常見的數形結合的方法，這種方法的要點是把不等式變形成兩個可以畫出圖象的函數（值）比較．