首先我們一起來看一個數列S＝1－1＋1－1＋1………到底等于多少？

第一種：S＝（1－1）＋（1－1）＋………＝0；

第二種：S＝1＋（1－1）＋（1－1）＋………＝1；

第三種：S = 1 − 1 1 − 1 …，

因此1 − S = 1 − (1 − 1 1 − 1 …) = 1 − 1 1 − 1 … = S，

即2S = 1，可得到S = 0.5

那麼豈非0＝1=0.5？？？

這一矛盾使當時傅立葉等數學家困惑不解，偉大的數學家歐拉也在此犯下了巨大的錯誤。不難看出，對于這樣問題的抛出，當時數學家大腦是一片“混亂”。之所以會造成混亂的主要原因在于當時分析任何一個問題，都容易忽視很多數學概念，如級數、積分的收斂性、微分積分的換序、高階微分的使用以及微分方程解的存在性，特别是極限、無窮的數學思想。

在我國著名的《莊子》一書中有言：“一尺之棰，日取其半，而萬世不竭。”

指一尺的東西今天取其一半，明天取其一半的一半，後天再取其一半的一半的一半總有一半留下，所以永遠也取不盡。從這裡我們可以看出我國早期對數學無窮的認識水平。

魏晉時期著名數學家劉徽，他提出用增加圓内接正多邊形的邊數來逼近圓的“割圓術”，并闡述道：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣。”意思就是說,圓内接正多邊形的邊數無限增加的時候,它的周長的極限是圓周長,它的面積的極限是圓面積。這段話體現劉徽對數學無窮的認識、極限的數學思想已相當深刻。劉徽正是以“割圓術”為理論基礎，得出徽率，同時也是我國第一個創造性地将無窮思想運用到數學中，

中國南北朝時期傑出的數學家、天文學家祖沖之運用無窮極限思想，得出了圓周率介于3.1415926與3.1415927之間，這一成果至少領先國外上千年的驚人成果。

在國外，最早關于無限的記載出現在印度的夜柔吠陀（公元前1200－900）。書中說：“如果你從無限中移走或添加一部分，剩下的還是無限。”

早在畢達哥拉斯關于不可公度量的發現及關于數與無限這兩個概念的定義中已孕育了微積分學的關于無窮的思想方法。德谟克利特和柏拉圖學派探索過無窮小量觀念。歐多克索斯、安蒂豐、數學之神阿基米德所運用的窮竭法已備近代極限理論的雛形，尤其是阿基米德對窮竭法應用之熟練，使後人感到他在當時就已接近了微積分的邊緣。

認識論說，人的認識一般是由具體到抽象，而這一認識過程從一定角度看也可以說是由有限到無限的邁進，而數學是最具抽象性的學科，這亦足以說明在向無限的邁進中，數學達到的層次是最深入的。

佛語：的一花一世界一葉一菩提，一朵花就是一個宇宙。萬物渺小或者宏大，微觀世界或者宏觀世界，都是一個世界。對于生長在花裡的細菌來說，哪就是他們的地球。對于生長的地球之外的比我們更宏大的生物來說，我們的地球隻是一個皮球。

數學曰：0與1之間看似是有限的數，卻蘊含無限。如0.9，還有0.99，以此類推，蘊含無限個數、無窮個數。

無窮作為一個極富迷人魅力的詞彙，長期以來就深深激動着人們的心靈。數學從某種角度上講是一門研究無限的學科，因為數學證明就是用有限的步驟解決涉及無窮的問題。

無窮或無限，數學符号為∞。來自于拉丁文的“infinitas”，即“沒有邊界”的意思。它在神學、哲學、數學和日常生活中有着不同的概念。通常使用這個詞的時候并不涉及它的更加技術層面的定義。

古希臘哲學家亞裡士多德認為，無窮大可能是存在的，因為一個有限量是無限可分的是不能達到極點的，但是無限是世界上公認不能達到的。

12世紀，印度出現了一位偉大的數學家布哈斯克拉（Bhaskara），他的概念比較接近現代理論化的概念。

英國人沃利斯将8水平置放成"∞"來表示"無窮大"符号，首次在論文《算術的無窮大》（1655年出版）一書中提出。

莫比烏斯帶常被認為是無窮大符号“∞”的創意來源，因為如果某個人站在一個巨大的莫比烏斯帶的表面上沿着他能看到的“路”一直走下去，他就永遠不會停下來。但是這是一個不真實的傳聞，因為“∞”的發明比莫比烏斯帶還要早。

無限符号的等式

在數學中，有兩個偶爾會用到的無限符号的等式，即：∞=∞ 1，∞=∞×1。

某一正數值表示無限大的一種公式，沒有具體數字，但是正無窮表示比任何一個數字都大的數值。 符号為 ∞，同理負無窮的符号式-∞。

在數學方面，無窮與以下的主題或概念相關：數學的極限、阿列夫數、集合論中的類、戴德金的無限群、羅素悖論、超實數、射影幾何、擴展的實數軸以及絕對無限。

在某些領域，無限不是指邊界外就沒有東西，而是指邊界外永遠有另一個邊界存在，而不是一個數。

如可數集合，如自然數集，整數集乃至有理數集對應的基數被定義為阿列夫0。比可數集合“大”的稱之為不可數集合，如實數集，其基數與自然數的幂集相同。

在動漫電影《玩具總動員》中巴斯光年的口頭禅：“To infinity and beyond!”(到達無窮，超越無窮)，這句話也可被看作研究大型基數的集合論者的呐喊。