高中數學立體幾何初步題?肖博數學小題專練(十) 立體幾何,今天小編就來說說關于高中數學立體幾何初步題?下面更多詳細答案一起來看看吧!
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高中數學立體幾何初步題
肖博數學小題專練(十) 立體幾何
一、選擇題
1.如圖所示是一個物體的三視圖,則此三視圖所描述物體的直
觀圖是( )
答案 D
解析 先觀察俯視圖,由俯視圖可知選項 B 和 D 中的一個正确,
由正視圖和側視圖可知選項 D 正确,故選 D。
2.一個簡單幾何體的正視圖、側視圖如圖所示,則其俯視圖不
可能為( )
A.長方形 B.直角三角形
C.圓 D.橢圓
答案 C
解析 當俯視圖為圓時,由三視圖可知為圓柱,此時正視圖和側
2
視圖應該相同,所以俯視圖不可能是圓,故選 C。
3.已知點 E,F,G 分别是正方體 ABCD-A1B1C1D1的棱 AA1,
CC1,DD1的中點,點 M,N,Q,P 分别在線段 DF,AG,BE,C1B1
上。以 M,N,Q,P 為頂點的三棱錐 P-MNQ 的俯視圖不可能是( )
答案 C
解析 當 M 與 F 重合、N 與 G 重合、Q 與 E 重合、P 與 B1重合
時,三棱錐 P-MNQ 的俯視圖為 A;當 M、N、Q、P 是所在線段的
中點時,三棱錐 P-MNQ 的俯視圖為 B;當 M、N、Q、P 位于所在
線段的非端點位置時,存在三棱錐 P-MNQ,使其俯視圖為 D。故選
C。
4.(2017·河南新鄉二模)已知一個幾何體的三視圖如圖所示,則
該幾何體的體積為( )
3
A.
32
3
B.
16
3
C.
8
3
D.
4
3
答案 C
解析 該幾何體由一個三棱錐和一個三棱柱組合而成,直觀圖如
圖所示,V=V 柱 V 錐=
1
2×(1 1)×1×2
1
3×
1
2×(1 1)×1×2=
8
3,
故選 C。
5.(2017·全國卷Ⅲ)已知圓柱的高為 1,它的兩個底面的圓周在
直徑為 2 的同一個球的表面上,則該圓柱的體積為( )
A.π B.
3π
4
C.
π
2
D.
π
4
答案 B
4
解析 設圓柱底面半徑為 r,由題知圓柱的高 h=1,圓柱外接球
的半徑 R=1,則 r
2=R
2-
h
2
2=1
2-
1
2
2=
3
4,所以圓柱的體積 V=πr
2h
=
3π
4 ,故選 B。
6.若正三棱錐 A-BCD 中,AB⊥AC,且 BC=1,則三棱錐 A
-BCD 的高為( )
A.
6
6
B.
3
3
C.
2
2
D.
6
3
答案 A
解析 設三棱錐 A-BCD 的高為 h,依題意得 AB,AC,AD 兩
兩垂直,且 AB=AC=AD=
2
2
BC=
2
2 ,△BCD 的面積為 3
4 ×1
2=
3
4 。
由 VA-BCD=VB-ACD得
1
3
S△BCD·h=
1
3
S△ACD·AB,即1
3×
3
4 ×h=
1
3×
1
2×
2
2
2×
2
2 ,解得 h=
6
6 ,即三棱錐 A-BCD 的高 h=
6
6 ,故選 A。
7.已知 m 和 n 是兩條不同的直線,α 和 β 是兩個不重合的平面,
那麼下面給出的條件中一定能推出 m⊥β 的是( )
A.α⊥β 且 m⊥α B.α⊥β 且 m∥α
C.m∥n 且 n⊥β D.m⊥n 且 n∥β
答案 C
解析 依題意,對于 A,注意到直線 m 可能平行或位于平面 β
内,因此選項 A 不正确;對于 B,注意到直線 m 可能平行或位于平
面 β 内且與它們的交線平行,因此選項 B 不正确;對于 C,由定理“若
兩條平行線中的一條與一個平面垂直,則另一條也與這個平面垂直”
5
得知,C 正确;對于 D,注意到直線 m 可能平行或位于平面 β 内,因
此選項 D 不正确。綜上所述,故選 C。
8.如圖所示,直線 PA 垂直于⊙O 所在的平面,△ABC 内接于
⊙O,且 AB 為⊙O 的直徑,點 M 為線段 PB 的中點。現有結論:①
BC⊥PC;②OM∥平面 APC;③點 B 到平面 PAC 的距離等于線段 BC
的長。其中正确的是( )
A.①② B.①②③
C.① D.②③
答案 B
解析 對于①,∵PA⊥平面 ABC,∴PA⊥BC。∵AB 為⊙O 的直徑,
∴BC⊥AC,又∵PA∩AC=A,∴BC⊥平面 PAC,又 PC⊂平面 PAC,
∴BC⊥PC。對于②,∵點 M 為線段 PB 的中點,∴OM∥PA,∵PA⊂平
面 PAC,OM⊄平面 PAC,∴OM∥平面 PAC。對于③,由①知 BC⊥平
面 PAC,∴線段 BC 的長即是點 B 到平面 PAC 的距離,故①②③都正
确。
9.已知 m,n 是兩條不同的直線,α,β 是兩個不同的平面,給
出四個命題:
①若 α∩β=m,n⊂α,n⊥m,則 α⊥β;
②若 m⊥α,m⊥β,則 α∥β;
③若 m⊥α,n⊥β,m⊥n,則 α⊥β;
④若 m∥α,n∥β,m∥n,則 α∥β。
6
其中正确的命題是( )
A.①② B.②③
C.①④ D.②④
答案 B
解析 兩個平面斜交時也會出現一個平面内的直線垂直于兩個
平面的交線的情況,①不正确;垂直于同一條直線的兩個平面平行,
②正确;當兩個平面與兩條互相垂直的直線分别垂直時,它們所成的
二面角為直二面角,故③正确;當兩個平面相交時,分别與兩個平面
平行的直線也平行,故④不正确。
10.(2017·廣州綜合測試(一))如圖,網格紙上小正方形的邊長為
1,粗線畫出的是某幾何體的正視圖(等腰直角三角形)和側視圖,且
該幾何體的體積為8
3,則該幾何體的俯視圖可以是( )
答案 D
7
解析 由題意可得該幾何體可能為四棱錐,如圖所示,其高為 2,
其底面為正方形,面積為 2×2=4,因為該幾何體的體積為1
3×4×2
=
8
3,滿足條件,所以俯視圖可以為一個直角三角形。故選 D。
11.(2017·安徽皖北協作區 3 月聯考)如圖,網格紙上小正方形的
邊長為 1,粗線(實線和虛線)表示的是某幾何體的三視圖,則該幾何
體外接球的表面積為( )
A.24π B.29π
C.48π D.58π
答案 B
8
解析 如圖,在 3×2×4 的長方體中構造符合題意的幾何體(三
棱錐 A-BCD),其外接球即為長方體的外接球,表面積為 4πR
2=π(32
2
2 4
2
)=29π。
12.(2017·洛陽第一次統考)四面體 A-BCD 中,∠ABC=∠ABD
=∠CBD=60°,AB=3,CB=DB=2,則此四面體外接球的表面積
為( )
A.
19
2
π B.
19 38π
24
C.17π D.
17 17π
6
答案 A
解析 依題意,在△ABC 中,AC=
AB2 BC2-2AB·BC·cos ∠ABC = 7 。 在 △ ABD 中 , AD =
AB2 BD2-2AB·BD·cos ∠ABD= 7=AC。在△BCD 中,BC=DB
=2,∠CBD=60°,因此△BCD 是正三角形,CD=2。
9
如圖所示 ,記三棱錐 A-BCD 的外接球球心為 O,半徑為 R,
取 CD 的中點 M,連接 AM,BM,OA,OB,則有 AM⊥CD,BM⊥
CD,AM= 7-1= 6,BM=
3
2 ×2= 3,AM2 BM2=9=AB2,AM
⊥BM,AM⊥平面 BCD,球心 O 在平面 BCD 上的射影是正△BCD 的
中心 O1,連接 OO1,則 AM∥OO1,O1M=
1
3
BM=
3
3 ,O1B=
2
3
BM=
2 3
3 。
在直角梯形 AMO1O 中,OO1= BO2-BO2
1= R
2-
4
3,AM= 6,
AO2=O1M2 (AM-OO1)
2,即 R
2=
1
3
6- R
2-
4
3
2,解得 4R
2=
57
6
=
19
2 ,因此三棱錐 A-BCD 的外接球的表面積等于 4πR
2=
19π
2 ,故選
A。
二、填空題
13.(2017·江蘇高考)如圖,在圓柱 O1O2内有一個球 O,該球與
10
圓柱的上、下底面及母線均相切。記圓柱 O1O2的體積為 V1,球 O 的
體積為 V2,則V1
V2
的值是________。
答案 3
2
解析 設球 O 的半徑為 r,則圓柱的底面圓半徑為 r,高為 2r,
則
V1
V2
=
πr
2·2r
4
3
πr
3
=
3
2。
14.(2017·武漢高三調研)中國古代數學名著《九章算術》中記載
了公元前 344 年商鞅督造的一種标準量器——商鞅銅方升,其三視圖
如圖所示(單位:寸),若 π 取 3,其體積為 12.6(單位:立方寸),則圖
中的 x 為________。
答案 1.6
解析 該幾何體是一個組合體,左邊是一個底面半徑為1
2的圓柱,
右邊是一個長、寬、高分别為 5.4-x,3,1 的長方體,∴組合體的體積 V
=V 圓柱 V 長方體=π·
1
2
2×x (5.4-x)×3×1=12.6(其中 π=3),解得
x=1.6。
15.(2017·廣西三市第一次聯考)已知長方體 ABCD-A1B1C1 D1
内接于球 O,底面 ABCD 是邊長為 2 的正方形,E 為 AA1的中點,OA
11
⊥平面 BDE,則球 O 的表面積為________。
答案 16π
解析 取 BD 的中點為 O1,連接 OO1,OE,O1E,O1A,則四邊
形 OO1AE 為矩形,∵OA⊥平面 BDE,∴OA⊥EO1,即四邊形 OO1AE
為正方形,則球 O 的半徑 R=OA=2,∴球 O 的表面積 S=4π×2
2=
16π。
16.(2017·武漢高三調研)若四面體 ABCD 的三組對棱分别相等,
即 AB=CD,AC=BD,AD=BC,給出下列結論:
①四面體 ABCD 每組對棱相互垂直;
②四面體 ABCD 每個面的面積相等;
③從四面體 ABCD 每個頂點出發的三條棱兩兩夾角之和大于 90°
而小于 180°;
④連接四面體 ABCD 每組對棱中點的線段相互垂直平分;
⑤從四面體 ABCD 每個頂點出發的三條棱的長可作為一個三角
形的三邊長。
其中正确結論的序号是________。(寫出所有正确結論的序号)
答案 ②④⑤
解析 将四面體 ABCD 的三組對棱分别看作平行六面體的對角
線,由于三組對棱分别相等,所以平行六面體為長方體。(該長方體
不一定為正方體)。故正确的有②④⑤。
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