高中數學立體幾何初步題?肖博數學小題專練(十) 立體幾何，今天小編就來說說關于高中數學立體幾何初步題?下面更多詳細答案一起來看看吧!

高中數學立體幾何初步題

肖博數學小題專練(十) 立體幾何

一、選擇題

1.如圖所示是一個物體的三視圖，則此三視圖所描述物體的直

觀圖是( )

答案 D

解析 先觀察俯視圖，由俯視圖可知選項 B 和 D 中的一個正确，

由正視圖和側視圖可知選項 D 正确，故選 D。

2.一個簡單幾何體的正視圖、側視圖如圖所示，則其俯視圖不

可能為( )

A.長方形 B.直角三角形

C.圓 D.橢圓

答案 C

解析 當俯視圖為圓時，由三視圖可知為圓柱，此時正視圖和側

2

視圖應該相同，所以俯視圖不可能是圓，故選 C。

3.已知點 E，F，G 分别是正方體 ABCD-A1B1C1D1的棱 AA1，

CC1，DD1的中點，點 M，N，Q，P 分别在線段 DF，AG，BE，C1B1

上。以 M，N，Q，P 為頂點的三棱錐 P-MNQ 的俯視圖不可能是( )

答案 C

解析 當 M 與 F 重合、N 與 G 重合、Q 與 E 重合、P 與 B1重合

時，三棱錐 P-MNQ 的俯視圖為 A;當 M、N、Q、P 是所在線段的

中點時，三棱錐 P-MNQ 的俯視圖為 B;當 M、N、Q、P 位于所在

線段的非端點位置時，存在三棱錐 P-MNQ，使其俯視圖為 D。故選

C。

4.(2017·河南新鄉二模)已知一個幾何體的三視圖如圖所示，則

該幾何體的體積為( )

3

A.

32

3

B.

16

3

C.

8

3

D.

4

3

答案 C

解析 該幾何體由一個三棱錐和一個三棱柱組合而成，直觀圖如

圖所示，V=V 柱 V 錐=

1

2×(1 1)×1×2

1

3×

1

2×(1 1)×1×2=

8

3，

故選 C。

5.(2017·全國卷Ⅲ)已知圓柱的高為 1，它的兩個底面的圓周在

直徑為 2 的同一個球的表面上，則該圓柱的體積為( )

A.π B.

3π

4

C.

π

2

D.

π

4

答案 B

4

解析 設圓柱底面半徑為 r，由題知圓柱的高 h=1，圓柱外接球

的半徑 R=1，則 r

2=R

2-









h

2

2=1

2-









1

2

2=

3

4，所以圓柱的體積 V=πr

2h

=

3π

4 ，故選 B。

6.若正三棱錐 A-BCD 中，AB⊥AC，且 BC=1，則三棱錐 A

-BCD 的高為( )

A.

6

6

B.

3

3

C.

2

2

D.

6

3

答案 A

解析 設三棱錐 A-BCD 的高為 h，依題意得 AB，AC，AD 兩

兩垂直，且 AB=AC=AD=

2

2

BC=

2

2 ，△BCD 的面積為 3

4 ×1

2=

3

4 。

由 VA-BCD=VB-ACD得

1

3

S△BCD·h=

1

3

S△ACD·AB，即1

3×

3

4 ×h=

1

3×

1

2×









2

2

2×

2

2 ，解得 h=

6

6 ，即三棱錐 A-BCD 的高 h=

6

6 ，故選 A。

7.已知 m 和 n 是兩條不同的直線，α 和 β 是兩個不重合的平面，

那麼下面給出的條件中一定能推出 m⊥β 的是( )

A.α⊥β 且 m⊥α B.α⊥β 且 m∥α

C.m∥n 且 n⊥β D.m⊥n 且 n∥β

答案 C

解析 依題意，對于 A，注意到直線 m 可能平行或位于平面 β

内，因此選項 A 不正确;對于 B，注意到直線 m 可能平行或位于平

面 β 内且與它們的交線平行，因此選項 B 不正确;對于 C，由定理“若

兩條平行線中的一條與一個平面垂直，則另一條也與這個平面垂直”

5

得知，C 正确;對于 D，注意到直線 m 可能平行或位于平面 β 内，因

此選項 D 不正确。綜上所述，故選 C。

8.如圖所示，直線 PA 垂直于⊙O 所在的平面，△ABC 内接于

⊙O，且 AB 為⊙O 的直徑，點 M 為線段 PB 的中點。現有結論：①

BC⊥PC;②OM∥平面 APC;③點 B 到平面 PAC 的距離等于線段 BC

的長。其中正确的是( )

A.①② B.①②③

C.① D.②③

答案 B

解析 對于①，∵PA⊥平面 ABC，∴PA⊥BC。∵AB 為⊙O 的直徑，

∴BC⊥AC，又∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面 PAC，又 PC⊂平面 PAC，

∴BC⊥PC。對于②，∵點 M 為線段 PB 的中點，∴OM∥PA，∵PA⊂平

面 PAC，OM⊄平面 PAC，∴OM∥平面 PAC。對于③，由①知 BC⊥平

面 PAC，∴線段 BC 的長即是點 B 到平面 PAC 的距離，故①②③都正

确。

9.已知 m，n 是兩條不同的直線，α，β 是兩個不同的平面，給

出四個命題：

①若 α∩β=m，n⊂α，n⊥m，則 α⊥β;

②若 m⊥α，m⊥β，則 α∥β;

③若 m⊥α，n⊥β，m⊥n，則 α⊥β;

④若 m∥α，n∥β，m∥n，則 α∥β。

6

其中正确的命題是( )

A.①② B.②③

C.①④ D.②④

答案 B

解析 兩個平面斜交時也會出現一個平面内的直線垂直于兩個

平面的交線的情況，①不正确;垂直于同一條直線的兩個平面平行，

②正确;當兩個平面與兩條互相垂直的直線分别垂直時，它們所成的

二面角為直二面角，故③正确;當兩個平面相交時，分别與兩個平面

平行的直線也平行，故④不正确。

10.(2017·廣州綜合測試(一))如圖，網格紙上小正方形的邊長為

1，粗線畫出的是某幾何體的正視圖(等腰直角三角形)和側視圖，且

該幾何體的體積為8

3，則該幾何體的俯視圖可以是( )

答案 D

7

解析 由題意可得該幾何體可能為四棱錐，如圖所示，其高為 2，

其底面為正方形，面積為 2×2=4，因為該幾何體的體積為1

3×4×2

=

8

3，滿足條件，所以俯視圖可以為一個直角三角形。故選 D。

11.(2017·安徽皖北協作區 3 月聯考)如圖，網格紙上小正方形的

邊長為 1，粗線(實線和虛線)表示的是某幾何體的三視圖，則該幾何

體外接球的表面積為( )

A.24π B.29π

C.48π D.58π

答案 B

8

解析 如圖，在 3×2×4 的長方體中構造符合題意的幾何體(三

棱錐 A-BCD)，其外接球即為長方體的外接球，表面積為 4πR

2=π(32

2

2 4

2

)=29π。

12.(2017·洛陽第一次統考)四面體 A-BCD 中，∠ABC=∠ABD

=∠CBD=60°，AB=3，CB=DB=2，則此四面體外接球的表面積

為( )

A.

19

2

π B.

19 38π

24

C.17π D.

17 17π

6

答案 A

解析 依題意，在△ABC 中，AC=

AB2 BC2-2AB·BC·cos ∠ABC = 7 。 在 △ ABD 中 ， AD =

AB2 BD2-2AB·BD·cos ∠ABD= 7=AC。在△BCD 中，BC=DB

=2，∠CBD=60°，因此△BCD 是正三角形，CD=2。

9

如圖所示 ，記三棱錐 A-BCD 的外接球球心為 O，半徑為 R，

取 CD 的中點 M，連接 AM，BM，OA，OB，則有 AM⊥CD，BM⊥

CD，AM= 7-1= 6，BM=

3

2 ×2= 3，AM2 BM2=9=AB2，AM

⊥BM，AM⊥平面 BCD，球心 O 在平面 BCD 上的射影是正△BCD 的

中心 O1，連接 OO1，則 AM∥OO1，O1M=

1

3

BM=

3

3 ，O1B=

2

3

BM=

2 3

3 。

在直角梯形 AMO1O 中，OO1= BO2-BO2

1= R

2-

4

3，AM= 6，

AO2=O1M2 (AM-OO1)

2，即 R

2=

1

3 











6- R

2-

4

3

2，解得 4R

2=

57

6

=

19

2 ，因此三棱錐 A-BCD 的外接球的表面積等于 4πR

2=

19π

2 ，故選

A。

二、填空題

13.(2017·江蘇高考)如圖，在圓柱 O1O2内有一個球 O，該球與

10

圓柱的上、下底面及母線均相切。記圓柱 O1O2的體積為 V1，球 O 的

體積為 V2，則V1

V2

的值是________。

答案 3

2

解析 設球 O 的半徑為 r，則圓柱的底面圓半徑為 r，高為 2r，

則

V1

V2

=

πr

2·2r

4

3

πr

3

=

3

2。

14.(2017·武漢高三調研)中國古代數學名著《九章算術》中記載

了公元前 344 年商鞅督造的一種标準量器——商鞅銅方升，其三視圖

如圖所示(單位：寸)，若 π 取 3，其體積為 12.6(單位：立方寸)，則圖

中的 x 為________。

答案 1.6

解析 該幾何體是一個組合體，左邊是一個底面半徑為1

2的圓柱，

右邊是一個長、寬、高分别為 5.4-x,3,1 的長方體，∴組合體的體積 V

=V 圓柱 V 長方體=π·









1

2

2×x (5.4-x)×3×1=12.6(其中 π=3)，解得

x=1.6。

15.(2017·廣西三市第一次聯考)已知長方體 ABCD-A1B1C1 D1

内接于球 O，底面 ABCD 是邊長為 2 的正方形，E 為 AA1的中點，OA

11

⊥平面 BDE，則球 O 的表面積為________。

答案 16π

解析 取 BD 的中點為 O1，連接 OO1，OE，O1E，O1A，則四邊

形 OO1AE 為矩形，∵OA⊥平面 BDE，∴OA⊥EO1，即四邊形 OO1AE

為正方形，則球 O 的半徑 R=OA=2，∴球 O 的表面積 S=4π×2

2=

16π。

16.(2017·武漢高三調研)若四面體 ABCD 的三組對棱分别相等，

即 AB=CD，AC=BD，AD=BC，給出下列結論：

①四面體 ABCD 每組對棱相互垂直;

②四面體 ABCD 每個面的面積相等;

③從四面體 ABCD 每個頂點出發的三條棱兩兩夾角之和大于 90°

而小于 180°;

④連接四面體 ABCD 每組對棱中點的線段相互垂直平分;

⑤從四面體 ABCD 每個頂點出發的三條棱的長可作為一個三角

形的三邊長。

其中正确結論的序号是________。(寫出所有正确結論的序号)

答案 ②④⑤

解析 将四面體 ABCD 的三組對棱分别看作平行六面體的對角

線，由于三組對棱分别相等，所以平行六面體為長方體。(該長方體

不一定為正方體)。故正确的有②④⑤。

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