處處相等的多項式函數是否相同-tft每日頭條

老黃已經在此前的作品中證明過“多項式函數兩端嚴格單調”了，主要利用的是“導數的符号性質判斷函數的單調性”以及函數的“零點存在性定理”的知識。但是老黃覺得還不過瘾，這次要利用“無窮大的定義”，來證明這個定理。

處處相等的多項式函數是否相同（利用無窮大的定義）1

盡管“多項式函數圖像兩端嚴格單調”這個定理看起來好像由圖像就可以想象出來，但想象不能做為定理的依據，而且證明過程和證明方法，以及用到的知識點才是重點。

證明：對任一多項式p(x)來說，一定存在點x1與x2，使p(x)在(x1, ∞)與(-∞,x2)上分别嚴格單調.

分析：我們可以記多項式p(x)的一般形式，其中最高次項系數a0≠0, 不妨設a0>0，a0<0也同理的。

處處相等的多項式函數是否相同（利用無窮大的定義）2

當n=1時, p(x)=a0x an是一條直線，在R上嚴格單調增，因此一定成立的！當n>=0時，

當n大于1時，求導，可以發現，導函數也是一個多項式函數，且次數比原函數少1.

處處相等的多項式函數是否相同（利用無窮大的定義）3

如果n是奇函數，那麼導函數p'(x)的次數就是偶的，當x趨于無窮大時, p'(x)趨于正無窮大，即p'(x)兩端都趨于正無窮大。根據正無窮大的定義，任給正數G，都存在正數M，使得當|x|>M時，p'(x)>G>0. 取x1=M，x2=-M，那麼多項式函數在兩端就都是嚴格遞增。

處處相等的多項式函數是否相同（利用無窮大的定義）4

如果n是偶數，那麼導函數p'(x)的次數是奇的，它在右端趨于正無窮大，左端趨于負無窮大，即p'(x)無窮大量，根據無窮大的定義：對任給的正數G，都存在正數M，使得當x>M時，p'(x)>G>0；當x<-M時，p'(x)<-G<0，取x1=M，x2=-M，那麼多項式函數在右端嚴格增，在左端嚴格減，

處處相等的多項式函數是否相同（利用無窮大的定義）5

綜上得證。

小夥伴們如果有興趣，可以查閱老黃上一作品中的證法，比較一下兩種證法，哪一種你更喜歡，它們運用的知識點是完全不同的哦。