在數學解題衆多技巧中，有一類特例法，在選擇題中用得比較多，但一般屬于不嚴謹的解法，僅用于幫我們解決考試問題，屬于一種應對考試的技巧。但是你知道嗎？特例法其實也可以做到嚴謹性的。下面這道2022年全國高考理科數學乙卷的選擇題立體幾何真題，老黃就準備給大家分享嚴謹的“特例法”是怎麼回事。

已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點在球O的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為

A. 1/3; B. 1/2; C. 根号3/3; D. 根号2/2

自己畫一個草圖，幫助理解一下題意。這個問題最大的難點是四棱錐的底面是一個任意四邊形，并不規則，因此很難對它進行分析。解決的辦法就是用“特例法”來突破它。

分析：不妨設四棱錐底面積為正方形，邊長為a(這裡并不适合設為1), 這就是一個特例。根據正方形的性質，可以得到它的對角線長是根号2 a，在四棱錐的側棱(即球體的一條半徑R)、四棱錐的高h，以及底面正方形的對角線(其實隻有一半)圍成的直角三角形中，運用勾股定理，就有：

h^2 (根号2 a)^2=R^2，即a^2=2-2h^2.

由棱錐的體積公式，V=底面積×高/3=ha^2/3=2h-2h^3，求導得V'=2-6h^2.

當V'=0時，解得h=根号3 /3.

當h<=根号3 /3時，V'>0，V單調增；當h>=根号3 /3時，V'<0，V單調減.

因此h=根号3 /3時，四棱錐的體積V就最大。先增後減的界點是極大值，而連續函數唯一的極大值是最大值。

但這隻是底面為正方形時的特例。如何保證底面是普通的四邊形時，四棱錐的體積V，仍在高h=根号3 /3時最大呢？這是一個稍微有點燒腦的問題。不過對于考試，到這裡已經足夠了，下面完全是對于數學探究的一種熱情。

事實上，不論底面的形狀如何，甚至如果不限定它是一個四棱錐的話，哪怕底面是一個變形蟲，它都會有一個面積，記為S，而這個面積與其等高的正方形底面積a^2之間，有一個比值，而且對于不同的高，這個比值是一個常數，記為k。

這其實是一個相似圖形的概念。不同的高，兩個形狀相同的底面的面積比是它們所在立體圖形的高的比的平方，兩個正方形底面的面積比，也是它們所在四棱錐的高的比的平方，這兩組比例關系中的對應高是同一條高。因此同高的情況下，形狀相同的底面中的一個，與同高四棱錐的正方形底面積的比是一個常數。

用數學的方式再說明一下。設在兩個高h1,h2下，各有一個形狀相同的圖形的底面面積為S1,S2，以及各有一個正方形底面面積為S1', S2'，則：

S1/S1'=h1^2/h2^2，S2/S2'=h1^2/h2^2，即S1/S1'=S2/S2'，從而S1/S2=S1'/S2'=k(記為一個常數)。

從而一般的底面積S=ka^2, 四棱錐的體積V=kha^2/3=2kh-2kh^3，V’=2k-6kh.

同樣的，當V'=0時，解得h=根号3 /3，後面的分析同上。這就保證了答案的普遍性，而不止對底面是正方形的特例是成立的。

其實很多人數學不好，有一個非常重要的原因，就是缺乏探究數學的熱情。如果您想提高自己的數學成績，就要保持這種熱情，而不是隻把它當作升學的一種障礙。