求數列的通項的基本方法有累加法和累乘法，等差數列與等比數列的通項公式就分别由累加法與累乘法對應得到的．對于一般的遞推公式，如果可以通過适當的代數變形轉化成可以使用累加法與累乘法的遞推形式，則問題就得到的解決，不動點法就提供了這樣的一個轉化的方向．
先從一種簡單的情形入手：
例1 若 ，
分析
與遞推公式對照得到
事實上，這裡的
對于由遞推公式
而
的形式．若 為常數或者與 無關，則由累乘法問題已經得到解決．比如若遞推公式為
下面我們來看更複雜的情形，對于遞推公式為
如何求數列的通項公式，給出具體的遞推公式為例：
例2 若 ，
解考慮遞推公式對應的不動點，令
解得
于是有
兩邊取倒數化簡得
記
于是就轉化成前面的講過的情形了．
事實上，如果遞推公式對應的不動點有兩個，則可以通過不動點得到兩個式子
兩式兩邊分别相除得
于是得到
解得
在本題中 是與 相關的式子，無法直接累加累乘，但求倒數後就可以進一步整理，找到轉化的方向．若特征根有兩個，通過兩式相除可以直接将 消去，得到一個等比數列．不管是哪種處理方式，尋找不動點都是一個很好的遞推公式的整理方向，引導我們去一步步進行代數變形，将一個未知的問題轉化成我們已經解決的問題．
除了這些情形之外，如果遞推公式的形式為
也可以嘗試不動點法求數列的通項公式，大家可以自行嘗試．
最後給出一些練習題．
１．若
2．若 ，
3．若
4．（2011全國高考大綱卷理科第22題）函數
（１）證明：
（２）求數列 的通項公式．
５.（2010東城高考一模理科第20題）已知數列 滿足
（１）求證：
（２）求證：
（３）求數列 的通項公式．
參考答案
１．
2．
3．
４.（１）略；（２）
５.（１）（２）略；（３）
注由遞推公式求數列通項公式的倒數法是不動點法的一種特殊情形．倒數法中，
由 數海拾貝 供稿。
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