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對數與函數基本知識
對數與函數基本知識
更新时间:2025-04-02 14:21:10
對數函數y=ln(1/2 x^2/3)的性質及其圖像


主要内容:

本文主要介紹函數的y=ln(1/2 x^2/3)的定義域、單調性、凸凹性、極限、奇偶性等性質,并通過導數計算函數的單調區間和凸凹區間,同時簡要畫出函數的示意圖。

對數與函數基本知識(對數函數yln1)1

※.函數的定義域

根據函數特征,1/2 x^2/3>0,所以函數y=ln(1/2 x^2/3)的定義域為全體實數,即函數的定義域為:(-∞, ∞)。


※.函數的單調性

因為函數y1=lnx在定義域上為增函數,函數y2=1/2 x^2/3為二次函數,當x>0時為增函數,當x<0時為減函數,所以二者的複合函數y=ln(1/2 x^2/3)的單調性與函數y2的函數單調性一緻。

本題還可以通過導數知識來解析函數的單調性,步驟如下。

y=ln(1/2 x^2/3),對x求導,有:

dy/dx=(2*x/3)/(1/2 x^2/3)

=4x/(2x^2 3)=4x/(2x^2 3),可知:

(1)當x∈(-∞,0]時,dy/dx<0,此時函數為減函數;

(2)當x∈[0, ∞)時,dy/dx>0,此時函數為增函數。

對數與函數基本知識(對數函數yln1)2

※.函數的凸凹性

對dy/dx=4x/(2x^2 3)繼續求導數,有:

d^2y/dx^2=4*(2x^2 3-x*2*2x)/(2x^2 3)^2,

=-2*(2x^2-3)/(2x^2 3)^2.

令d^2y/dx^2=0,則2x^2-3=0,求出x=±(1/2)√6,此時函數的凸凹性為:

(1)當x∈[-(1/2)√6,(1/2)√6]時,d^2y/dx^2>0,函數為凹函數;

(2)當x∈(-∞,-(1/2)√6∪((1/2)√6, ∞)時,d^2y/dx^2<0,函數為凸函數.


※.函數的奇偶性

∵f(x)=ln(1/2 x^2/3);

∴f(-x)=ln[1/2 (-x)^2/3]=ln(1/2 x^2/3)=f(x),

即函數f(x)為偶函數。


※.函數的極限

Lim(x→-∞) ln(1/2 x^2/3)= ∞;

Lim(x→ ∞) ln(1/2 x^2/3)= ∞;


對數與函數基本知識(對數函數yln1)3

※.函數的示意圖

對數與函數基本知識(對數函數yln1)4

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