這篇文章适合三年級及三年級以上的學生及學生家長，小學教師，中學老師； 及任何童心未泯的老兒童，青壯年。

一般的孩子在學習計數時大都會喜歡這個新穎的遊戲。也許有些孩子在背誦乘法表時沒有如所你希望的那麼快， 但事實是：要在這個世界上找幾個不記得乘法表的人也是很困難的。或早或晚，孩子們都會記住9×9乘法表。我們也相信，到了三年級，沒幾個孩子會堅持把10個3一個一個加起來，而不理解這其實就是3個10，就是30。基于這些思考，我們不是完全領會：為什麼我們不在孩子們學習了乘法表以後（三年級的第二個學期）就告訴它們加法和乘法運算滿足三條運算法則。

加法，乘法的三個基本運算法則

一種可能性是：孩子們還沒學習英文字母，對用字母表示的公式不能理解。這個猜測好像也不成立，美國的教材及現在很有名的新加坡數學教材也沒有及時地跟孩子們講授這三個法則。注意到的是，這三個運算法則（首先對自然數成立）對接下來引入的新數（負數，分數，無理數以及複數）都成立。不僅如此，這些法則對我們理解新引入的數也至關重要。

我們也注意到，學習分數的定義和運算是很多孩子在學習數學的旅程中碰到的第一個大挑戰。 缺乏對以上運算法則的理解和掌握也許是這些學生在學習分數時感到比較吃力的主要原因之一。

幾乎所有的教材在引入分數及介紹分數運算時至少有兩個很疑惑的地方。（1）沒有把分數同整數除法（或倒數）直接聯系起來。學生會花很長一段時間才能領悟m/n就是m÷n, 也與m倍的1/n 是一樣的。 (2) 運用算術運算的固定運算次序，先介紹分數的加減，後介紹分數的乘除。事實上，一方面分數本身已經有乘除運算了。還強調先做加減後做乘除在邏輯上講不通。另一方面，在介紹不同分母的分數相加時，又不得不介紹等價分數。如伍鴻熙教授早就指出的：沒有介紹分數的乘法，等價分數的引進也是有漏洞的。

等價分數的引入已經用到了分數相乘

在諸子數學第一冊《代數入門》裡， 這兩個疑惑不複存在。首先我們作如下定義。

分數的定義與除法（或倒數）有關

習慣上我們也稱1/n是非零整數n的倒數（倒過來的數，這裡中文翻譯reciprocal為倒數太絕了）。上面定義也指明：除以一個非零數就是乘以這個數的倒數。

有了以上的定義，我們很容易就可以得到分數乘法的第一個法則。

特殊分數的乘法公式

（公式1）可以這樣驗證： 我們隻要能驗證nm 的倒數是1/n×1/m就可以了。這比較容易證，用一下乘法交換律,結合律及分數的定義即可（你能看出來我們什麼地方用了交換律，哪裡用了結合律，哪裡用了分數的定義嗎？）。

由（公式1）及分數的定義（定義1），我們就可以推導出一般的分數乘法公式(自己試試推導吧)。

分數乘法的一般公式

學習了分數的乘法後，我們再來看分數的加法。首先對同分母的兩個分數，我們有：

同分母分數相加

運用一下分數的定義及分配律即可驗證（公式3）：

對不同分母的分數，使用分數乘法我們可以得到兩個同分母的分數，然後運用（公式3）就可以把它們加起來了。

分數加法的一般公式

如何把所得分數再進一步化簡那是另一個問題了（要用到基于算術基本定理的整數的分解性質），這裡不再累述。