鄭州大學碩士研究生入學考試

《數學（理）》考試大綱

命題學院（蓋章）：化學學院 考試科目代碼及名稱：606 數學（理）

一、考試基本要求及适用範圍概述

本《數學（理）》考試大綱适用于鄭州大學環境科學相關專業的碩士研究生入學考試。該課程是高等學校相關專業開設的一門重要的基礎理論課.通過本課程的教學,使學生獲得一元和多元函數微分學,不定積分、定積分、重積分、曲線曲面積分的基本概念,較系統掌握微積分的理論和方法,具有利用上述所學知識分析問題和解決問題的能力.為學習後繼課程和進一步獲得數學知識奠定必要的數學基礎．

二、考試形式

碩士研究生入學數學（理）考試為閉卷，筆試，考試時間為 180 分鐘，本試卷滿分為 150 分。

試卷結構（題型）：單項選擇題、填空題、計算題、證明題.

三、考試内容

1.函數

考試内容

實數的絕對值，絕對值的基本性質，絕對值不等式，區間與鄰域的概念．函數概念、函數單調性，有界性，奇偶性，周期性.

反函數概念與複合函數概念

基本初等函數，初等函數．

考試要求

理解函數概念,了解函數的單調性、有界性、奇偶性、周期性.

了解反函數的概念，理解複合函數的概念，掌握複合函數的分解.

掌握基本初等函數的性質及圖形．理解初等函數的概念。

2.極限與連續

考試内容

數列極限的定義，數列極限的唯一性及收斂數列的有界性．

函數極限的定義及性質.函數的左、右極限。無窮小與無窮大，極限的性質。

極限的四則運算法則、複合運算法則，極限存在準則及兩個重要極限．無窮小的比較及等價無窮小替換定理）.

函數的連續概念，函數間斷點的類型，函數連續的運算及其初等函數的連續性，閉區間上連續函數的性質---最值定理和介值定理。

考試要求

理解數列極限和函數極限的概念,

理解函數的左、右極限的概念以及極限存在與左、右極限之間的關系。掌握極限的性質及四則運算法則。

掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限。會用兩個重要極限求一些相關函數的極限。

了解無窮小、無窮大有關概念，會用等價無窮小求極限。理解函數連續性的概念，會判别函數間斷點的類型。

了解初等函數的連續性和閉區間上連續函數的最值定理,會用零值定理證明方程根的存在性.

3.導數與微分

考試内容

導數的定義與幾何意義，可導與連續的關系，求導舉例.

函數的四則求導法則,基本初等函數的導數公式.反函數與複合函數的導數,隐函數的導數,對數求導法.

高階導數的概念與求法.某些簡單函數的n階導數

微分的概念、微分的幾何意義、函數可導與可微的關系、微分的四則運算、一階微分形式的不變性、微分在近似計算中的應用.

考試要求

理解導數的概念及幾何意義；

了解函數的可導性與連續性之間的關系.

掌握基本初等函數的導數公式，掌握導數的四則運算和複合函數的求導法則,

會求反函數的導數.會求隐函數、分段函數所确定的函數一階導數。

了解高階導數的概念,掌握初等函數的一階,二階導數的求法,

了解幾個常見函數的n階導數，會求簡單函數的n階導數。

理解微分的概念及其幾何意義.了解函數可導與可微的等價性.

了解微分的四則運算法則及一階微分形式的不變性,了解微分在近似計算中的應用。

4.微分中值定理與導數的應用

考試内容

羅爾定理，拉格朗日定理，柯西定理．未定式的定值法----洛必達法則．

函數單調性的判别法及其應用

函數極值的定義,函數取極值的求法,求函數最值的方法,曲線凹凸性的定義、判别法, 曲線的拐點及其求法與求法.曲線的漸近線的定義與求法、函數圖形的描繪

考試要求

理解并會用羅爾定理、拉格朗日定理, 了解并會運用柯西中值定理。掌握洛必達法則求未定式極限的方法。

理解函數的極值概念,掌握利用導數判斷函數的單調性和求極值的方法。會用導數判斷函數圖形的凸凹性,會求曲線的拐點.會求曲線的水平、鉛直和斜漸近線,會描繪函數的圖形.

5.不定積分

考試内容

原函數與不定積分的定義. 不定積分的性質. 基本積分公式.

不定積分的直接積分法、換元積分法、分部積分法.

考試要求

理解原函數與不定積分的概念, 了解不定積分的性質.

掌握不定積分基本公式, 能熟練運用換元積分法和分部積分法.

會求一些常見初等函數的不定積分

6.定積分

考試内容

定積分的概念及其性質. 定積分的中值定理.

變上限的定積分. 牛頓-萊布尼茲公式.

定積分的換元積分法, 分部積分法.

定計分的幾何應用(曲邊梯形的面積、旋轉體的面積).

廣義積分(無限區間上的積分、無界函數的積分)的概念.

考試要求

了解定積分的概念和基本性質. 理解積分學中值定理.

掌握變上限定積分的導數計算方法.

能熟練地運用牛頓-萊布尼茲公式計算定積分.

掌握定積分的換元積分法和分部積分法.

會利用定積分計算平面圖形的面積和旋轉體的體積,了解廣義積分的概念, 會計算較簡單的廣義積分.

7.無窮級數

考試内容

無窮級數及其收斂與發散的定義. 無窮級數的基本性質.

正項級數的概念.正項級數收斂的充分必要條件.正項級數的比較判别法、比值判别法.

交錯級數的概念. 萊布尼茲判别法.

任意項級數. 絕對收斂與條件收斂的概念.

幂級數的概念. 幂級數的收斂半徑、收斂區間的概念及求法.幂級數和函數的概念. 幂級數的基本性質.

泰勒級數. 馬克勞林級數.

将函數展開成幂級數的方法(直接展開法、間接展開法).常用的基本初等函數的幂級數展開式.求幂級數的和函數.

考試要求

了解無窮級數概念和基本性質. 理解級數收斂與發散的概念.

掌握正項級數的判别法、交錯級數的判别法、絕對收斂與條件收斂的判别法.

理解幂級數及其收斂半徑、收斂區間等概念與計算.了解初等函數的幂級數的展開及幂級數的性質與應用.會将某些初等函數展開為幂級數.

會求某些較簡單的幂級數的和函數.

8.向量代數與空間解析幾何

考試内容

空間直角坐标系, 空間兩點間的距離.

向量的線性運算、向量的模及方向餘弦的坐标表示; 向量的數量積、向量積運算;

平面的點法式,一般式,截距式;直線的點向式,對稱式,一般式方程;直線與平面的關系

曲面方程，球面，旋轉曲面，曲線方程以及曲線在坐标面上的投影、常見的二次曲面的标準方程及其圖像.

考試要求

理解空間直角坐标系的有關概念，會求空間兩點的距離。

理解向量的概念及其表示.

掌握向量的運算（線性運算,數量積,向量積）,了解向量垂直平行的條件.

掌握平面的方程和空間直線方程的求法.

了解曲面方程與空間直線方程的概念,掌握球面的方程,

會求母線平行于坐标軸的柱面及旋轉軸為坐标軸的旋轉曲面的方程,了解常用二次曲面的方程及其圖形.了解空間在坐标面上的投影.

9.多元函數

考試内容

多元函數的概念. 二元函數的定義域及幾何意義.

二元函數的極限和連續性的概念.

偏導數的定義及其計算. 高階偏導數的概念及計算.

多元複合函數求偏導數的方法. 隐函數求偏導數的方法.全微分的定義及計算. 全微分存在的充分條件.

方向導數與梯度

曲面的切平面與法線方程

多元函數極值的概念. 多元函數極值存在的必要條件與充分條件.求多元函數極值的方法.

多元函數條件極值概念. 拉格朗日乘數法.

二重積分的概念、幾何意義及其性質. 二重積分的計算.三重積分的概念、幾何意義及其性質. 三重積分的計算.曲線積分的概念及其性質. 曲線積分的計算.

曲面積分的概念及其性質. 曲面積分的計算. Green公式、Gauss公式、Stokes公式及其應用。

考試要求

了解多元函數的概念. 掌握二元函數的概念.

了解二元函數的極限、連續的概念和性質.

理解二元函數偏導數和全微分的概念, 掌握求偏導數和全微分的方法.

掌握複合函數的微分法和求隐函數偏導數的方法.

會求方向導數與梯度

會求曲面的切平面與法線方程

掌握多元函數極值得充分條件、必要條件.

會用拉格朗日乘數法求解多元函數條件極值問題.

理解二重積分的概念、幾何意義和基本性質.

掌握在直角坐标系和極坐标系下計算二重積分的方法.

理解三重積分的概念、幾何意義和基本性質.

掌握在直角坐标系、柱坐标系和球坐标系下計算三重積分的方法.

掌握曲線、曲面積分的計算方法

掌握Green公式、Gauss公式、Stokes公式及其應用。

10.微分方程

考試内容

微分方程的一般概念.

可分離變量的一階微分方程. 齊次微分方程. 一階線性微分方程.可降階的二階微分方程. 不顯含未知函數y的二階微分方程.

不顯含自變量x的二階微分方程

二階常系數線性齊次方程、非齊次方程考試要求

理解微分方程的概念. 了解微分方程的階、通解和特解等概念.掌握可分離變量方程、齊次方程和一階線性方程的解法.

掌握最簡單的二階微分方程、不顯含未知函數y的二階微分方程、不顯含自變量x的二階微分方程的解法.

掌握二階常系數線性齊次微分方程的解法及簡單二階常系數非齊次方程的解法.

四、考試要求

碩士研究生入學考試科目《數學（理）》為閉卷，筆試，考試時間為180分鐘，本

試卷滿分為150分。試卷務必書寫清楚、符号和西文字母運用得當。答案必須寫在答題紙上，寫在試題紙上無效。

五、主要參考教材（參考書目）

1、《微積分》（2007年11月第二版），上冊 闫站立編著，高等教育出版社2、《微積分》（2007年11月第二版），下冊 闫站立編著，高等教育出版社

編制單位：鄭州大學

編制日期： 2021年9 月