很多數學愛好者最喜歡做的事情之一就是證明存在無窮多個素數（質數）。在大多數情況下，希臘數學家歐幾裡得在公元前300年左右給出證明最為經典，在他的《幾何原本》的第9卷中可以找到。

自從歐幾裡得發表他的證明以來，2000多年過去了，人們已經找到了其他方法來證明存在無窮多的質數。其中一些是重申歐幾裡得方法的巧妙，還有一些利用了歐幾裡得時代不存在的數學新分支。

這裡有六種方法可以證明質數有無窮多個。我們将從歐幾裡得的經典證明開始，然後依次介紹其他證明。

01歐幾裡得方法

• 歐幾裡得《幾何原本》的片段

歐幾裡得：對于任何有限的素數列表，至少有一個素數不在這個列表中。

首先我們需要一個簡單的支撐結論：

引理1.1：對于任意三個整數a, b和c，如果a能整除b且a能整除c，那麼a也可以整除b﹣c。

證明：令b=am，c=an（其中m，n為整數），那麼b-c=am-an=a(m-n)，由于m-n也是整數，所以a能整除b-c。

這就是歐幾裡得的證明所需要的。

定理1.2：如果是素數的有限列表，則存在一個素數不在這個列表中。

證明：令數字P為列表中所有質數的乘積，并考慮數字P 1，如果P 1是質數，我們證明了定理1.2。因此，假設P 1不是素數。然後P 1可被一些較小的質數p整除。如果p在我們的列表中，則p能被P 1和P整除。根據引理1.1，則p還必須可以整除P 1﹣ P，也就是p能整除1。由于這不可能，因此p不能在列表中。

02埃爾米特法

埃爾米特（約1860年）：對于任何正整數，都存在一個比它大的素數。

法國數學家查爾斯·埃爾米特的這一證明與歐幾裡得的方法一樣簡單。

定理2.1：對于任何n> 1的整數，如果p是n！ 1的質因數，那麼p> n。因此，有無限多個素數。

證明：如果p≤n，則p能整除n！。但是p也能整除n！ 1，所以由引理1.1得出，p能整除n！ 1﹣n!。所以 p能整除1，這是不正确的，所以p> n。

03戈德巴赫法

戈德巴赫（1730）：因為無窮多個費馬數，所以質數有無窮多個。

費馬數的形式如下：

前四個費馬數是3、5、17、257，然後很快就變得很大。

首先，我們需要一個有關費馬數的有趣理論：

引理3.1：對于任何正整數m

通過歸納法證明。

現在我們可以證明任何一對費馬數都是互質的，這意味着它們沒有任何共同的質因數。

引理3.2：費馬數對都是互質的。

證明：取兩個費馬數F_u<F_v。如果它們都具有一個共同的質因數p，那麼根據引理3.1， p可以整除Fᵥ和 F_v﹣2。因此，根據引理1.1，p将能整除F_v﹣（F_v﹣2），因此p能整除2。但是由于費馬顯然是奇數，所以這不可能成立，因此兩個費馬數必須互質。

現在，這可以輕松證明主要結論。

定理3.3：有無限多個質數。

證明：存在無限多個費馬數，并且每個數都有不同的質因數，因此有無限多個素數。

有趣的是，哥德巴赫關于素數的猜想是數論中最簡單（形式）的猜想之一，但至今仍未解決。哥德巴赫猜想指出，大于2的任何偶數都可以表示為兩個素數之和。

04Filip Saidak法

Filip Saidak（2005）：可以構造一個無限的數字集，每個數字都包含一個新的素數。

這是一個非常漂亮的證明，可以輕松地從一些早期結論中得出。

首先，歐幾裡得證明中的一個結論是，對于任何n> 1的正整數，n和n 1是互質的。

定理4.1：有無限多個質數。

證明：令n為大于1的正整數。由于n和n 1是互質的，則n（n 1）必須至少具有兩個不同的質數因子。同樣，n（n 1）和n（n 1） 1是互質數，因此n（n 1）（n（n 1） 1）必須包含至少三個不同的質數因子。這可以無限擴展。

05弗斯滕伯格法

• 希勒爾·弗斯滕伯格

弗斯滕伯格1955年）：如果質數有限，則可以構建不可能的拓撲

到目前為止，這是最簡單的一種方法，如果您從未研究過拓撲結構，則可能是最難掌握的。

讓我們在整數集上定義一個拓撲，如下所示：

定義5.1：集合U是一個開放集，當且僅當它是一個空集或它是形式為S（a，b）的集合的并集，對于所有整數n且a≠0，S(a, b)是an b的等差級數，。

可以很容易地證明這種構造是有效的拓撲，因為它滿足三個公理：空集和所有整數的集都是開放的，開放集的任何并集都是開放的，開放集的任何有限交集都是開放的。

定理5.1：有無限多個質數。

證明：考慮上面定義的拓撲。注意：

1. 在任何拓撲中，開放集的補集都是封閉集，在這種拓撲結構中，有限非空集的補集不能閉合。
2. 集合S(a, b)根據定義是開的，但它們也可以寫成開集的補集，因此它們既是開集又是閉集：

現在，因為除了-1和1以外的所有整數都是素數的乘積，我們可以得出結論，對于某個素數p，它們必須在集合S(p, 0)中，因此：

​

左邊的集合是有限集合{- 1,1}的補集。現在，如果有有限多個素數，那麼右邊就是一個有限的閉集的并集是閉集。這就産生了一個矛盾，所以必然有無窮多個素數。

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