在國際衍生金融市場的形成發展過程中，期權的合理定價一直是困擾投資者的一大難題。期權價格是期權合約中唯一随市場供求變化而改變的變量，它的高低直接影響到買賣雙方的盈虧狀況，是期權交易的核心問題。早在1900年法國金融專家勞雷斯·巴舍利耶就發表了第一篇關于期權定價的文章。此後，各種經驗公式或計量定價模型紛紛面世，但因種種局限難于得到普遍認同。

直到1973年，布萊克（F.Black）和斯科爾斯（M.Scholes）發表了一篇名為《期權和公司負債定價》的論文，推導出了著名的Black-Scholes公式（以下簡稱BS公式），即标準的歐式期權價格顯式解，這個公式的精彩之處在于其中的變量全是客觀變量，完全摒除了個體主觀因素的影響。70年代至今，BS公式為投資者帶來了巨大财富。

然而BS公式的推導并不是一帆風順，在探索它的過程中，你必然會接觸到布朗運動、伊藤引理，布朗運動用于描述證券價格的随機過程，伊藤引理提供了對随機過程的函數做微分的框架，最終造就了一個精彩絕倫的BS公式。

1. 布朗運動

布朗運動的發現和發展，有四個重要的時間節點：

1827年英國植物學家布朗發現液體中懸浮的花粉粒具有無規則的運動，這種運動就是布朗運動。但是當時并不能從物理學角度上很好的解釋其成因。

1900年，法國數學家巴舍利耶（L.Bachelier）在其博士論文《投資理論》中，給出了布朗運動的數學描述，提出用算術布朗運動來模拟股票價格的變化。

1905 年，愛因斯坦詳細解釋了布朗發現的這種運動：微粒的無規則運動是由水分子的撞擊形成。

直到1918年，布朗運動嚴謹的定義才被維納（Winener）給出，因此布朗運動又稱為維納過程。

（1）标準布朗運動

設

代表一個小的時間間隔長度，代表變量

在時間内的變化，遵循标準布朗運動的

具有的兩種特征：

特征1：

和

(2.1)

其中，

代表從标準正态分布（即均值為0、标準差為1.0的正态分布）中的一個随機值。

特征2：對于任何兩個不同時間間隔

，

從特征1可知，

本身也具有正态分布特征，其均值為0，标準差為

，方差為

。

從特征2可知，标準布朗運動符合馬爾可夫過程，因此是馬爾可夫過程的一種特殊形式。

現在我們來考察遵循标準布朗運動的變量z在一段較長時間T中的變化情形。我們用z（T）-z（0）表示變量z在T中的變化量，它可被看作是在N個長度為的小時間間隔中z的變化總量，其中N=T/

，因此，

(2.2)

其中是标準正态分布的随機抽樣值。從特征2可知，i是相互獨立的，因此z（T）-z（0）也具有正态分布特征，其均值為0，方差為N

=T，标準差為

。

由此我們可以發現兩個特征：在任意長度的時間間隔T中，遵循标準布朗運動的變量的變化值服從均值為0，标準差為

的正态分布。對于相互獨立的正态分布，方差具有可加性，而标準差不具有可加性。

當時，我們就可以得到極限的标準布朗運動：

（2.3）

（2）普通布朗運動

為了得到普通的布朗運動，我們必須引入兩個概念——漂移率和方差率：

漂移率：是指單位時間内變量z均值的變化值。

方差率：是指單位時間的方差。

标準布朗運動的漂移率為0，方差率為1.0。漂移率為0意味着在未來任意時刻z的均值都等于它的當前值。方差率為1.0意味着在一段長度為T的時間段後，z的方差為1.0×T。我們令漂移率的期望值為a，方差率的期望值為b^2，就可以得到變量x的普通布朗運動：

dx=adt bdz （2.4）

其中，a和b均為常數，dz遵循标準布朗運動。這個過程指出變量x關于時間和dz的動态過程。其中第一項adt為确定項，它意味着x的期望漂移率是每單位時間為a。第二項bdz是随機項，它表明對x的動态過程添加的噪音。這種噪音是由維納過程的b倍給出的。

從上式（2.1）和（2.4）可知，在短時間

後，x值的變化值

為：

因此，也具有正态分布特征，其均值為a

，标準差為

，方差為

。同樣，在任意時間長度T後x值的變化也具有正态分布特征，其均值為aT，标準差為

，方差為

2、伊藤引理

普通布朗運動假定漂移率和方差率為常數，若把變量x的漂移率和方差率當做變量x和時間t的函數，我們可以從公式（2.4）得到伊藤過程。

其中，dz是一個标準布朗運動，a、b是變量x和t的函數，變量x的漂移率為a，方差率為b2。

在伊藤過程的基礎上，伊藤進一步推導出：若變量x遵循伊藤過程，則變量x和t的函數G将遵循如下過程：

（2.5）

其中，dz是一個标準布朗運動。由于

和

都是x和t的函數，因此函數G也遵循伊藤過程，他的漂移率為：

，方差率為

。公式（2.5）就是著名的伊藤引理。

（未完待續）