我們學過了全等三角形後,可以學習一些基于全等三角形的模型,今天介紹一下中考的常見的模型之一:手拉手模型
先來認識一下手拉手模型,如圖△ABC與△ADE是兩個等腰三角形,它們有公共頂點A,且頂角相等∠BAC=∠DAE。把△ADE繞頂點A,任意旋轉一定角度,然後連接BD與CE,很像兩雙手拉在一起,所以叫手拉手模型。
它有三個基本的結論:①BD=CE②∠BAC=∠BFC③AF平分∠BFE
①BD=CE(兩人的左手長度和=兩人的右手長度和,很形象很容易記住)
②∠BAC=∠BFC(左手與右手的夾角=等腰三角形的頂角a)
③AF平分∠BFE
下面給出基本的證明。
手拉手模型是基于三角形全等,由于是兩個等腰三角形,即相當于給了2組相等的對應邊,那麼我們隻要再得到夾角相等就可以利用SAS來證明三角形全等。而這個夾角可以利用它們相同的頂角來推導出來。
證明如下:
因為頂角相等∠BAC=∠DAE,所以它們都加上角∠CAD,得到∠BAC ∠CAD=∠DAE ∠CAD,即∠BAD=∠CAE。
在△BAD與△CAE中
AB=AC
∠BAD=∠CAE
AD=AE
所以△BAD≌△CAE。所以BD=CE(結論①),∠ABD=∠ACE。
因為∠AGB=∠FGC(對頂角相等),根據△ABG與△CFG的内角和都是180度,可得∠BAC=∠BFC(結論②)。如果單獨看△ABG與△CFG,它們是一個8字模型,易知∠BAC=∠BFC。
接來下我們證明AF平分∠BFE。根據角分線的性質:角平分線上的點到角兩邊的距離相等,可以嘗試過點A作兩邊的高。即過點A作AP垂直BD于點P,AQ垂直CE于點Q。因為△BAD≌△CAE,所以對應邊上的高也相等,即AP=AQ。再根據AF=AF,∠APF=∠AQF(都是直角),可以得到∠APF≌∠AQF(HL),所以∠AFP=∠AFQ,即AF平分∠BFE(結論③)。
以上是手拉手模型最基本的結論和證明,如果旋轉的角度不同,會變成其它形狀,但是都有△BAD≌△CAE。
特殊情況時,兩個三角形可以變成等腰直角三角形,等邊三角形等等,會得到更多的結論。
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