關于虛數，這是一個神奇的數字，它的平方等于-1。關于虛數的引入，它是根據向量在平面中的旋轉得到的推論和大膽的假設。在平面中如果-1作用在一個向量上，這個向量會逆時針旋轉180°，-1兩次作用在同一個向量上，這個向量會旋轉360°，回到原來所在的位置。所以說，可以将-1理解成一個算符。同樣，如果我們将向量旋轉90°呢，可以規定一個算符作用在向量上，讓向量逆時針旋轉90°，這個算符有一個特點。連續作用一個向量兩次，向量會逆時針旋轉180°，與-1的作用效果一樣。因此，規定i的平方等于-1。
在這基礎之上，建立了複平面坐标系。橫軸x軸為實軸，虛軸y軸為虛軸。每一個向量都對應一個複數a ib，a,b為實數。
那麼問題來了，讓向量在複平面中旋轉任何角度時，該怎樣對複平面中的向量進行作用。通過一系列證明，證明了在複平面中，cosθ isinθ與e^iθ 的作用效果一樣。
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