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離散數學歐拉公式的推廣
離散數學歐拉公式的推廣
更新时间:2025-04-03 09:21:17

關于虛數,這是一個神奇的數字,它的平方等于-1。關于虛數的引入,它是根據向量在平面中的旋轉得到的推論和大膽的假設。在平面中如果-1作用在一個向量上,這個向量會逆時針旋轉180°,-1兩次作用在同一個向量上,這個向量會旋轉360°,回到原來所在的位置。所以說,可以将-1理解成一個算符。同樣,如果我們将向量旋轉90°呢,可以規定一個算符作用在向量上,讓向量逆時針旋轉90°,這個算符有一個特點。連續作用一個向量兩次,向量會逆時針旋轉180°,與-1的作用效果一樣。因此,規定i的平方等于-1。

在這基礎之上,建立了複平面坐标系。橫軸x軸為實軸,虛軸y軸為虛軸。每一個向量都對應一個複數a ib,a,b為實數。

那麼問題來了,讓向量在複平面中旋轉任何角度時,該怎樣對複平面中的向量進行作用。通過一系列證明,證明了在複平面中,cosθ isinθ與e^iθ 的作用效果一樣。

離散數學歐拉公式的推廣(從虛數i到歐拉公式)1

離散數學歐拉公式的推廣(從虛數i到歐拉公式)2

離散數學歐拉公式的推廣(從虛數i到歐拉公式)3

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