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九上數學相似三角形判定的證明
九上數學相似三角形判定的證明
更新时间:2025-04-03 09:30:00

初中階級,相似三角形的判定,隻給出了判定的方法,并沒有給出這些方法的證明,在這裡,我想對這些方法的證明,給出我的淺見。

相似三角形判定的方法主要有三個:

方法一:如果一個三角形的兩個角分别與另一個三角形的兩個角對應相等,那麼這兩個三角形相似。

方法二:如果一個三角形的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應成比例,并且夾角相等,那麼這兩個三角形相似。

方法三:如果一個三角形的三條邊和另一個三角形的三條邊對應成比例,那麼這兩個三角形相似。


方法一

九上數學相似三角形判定的證明(相似三角形判定定理證明淺見)1

ΔABC和ΔADE中,∠BAC=∠DAE,∠ABC=∠ADE,求證:ΔABC∽ΔADE。

為了方便證明,将兩個三角形合并到一個圖形當中。

首先證明三個角對應相等。

∠BAC=∠DAE,∠ABC=∠ADE,可以推出∠ACB=∠AED。

三個角對應相等證明完,接下證明三角邊對應成比例。

∠ABC=∠ADE,可證出BC//DE,可得AB:DB=AC:CE=k。

設AB=a,BC=b,得AC=ak,CE=bk。

作CF//AD,可得CE:AC=EF:DF=k1,

可得,EF=bk1,DF=ak1.

四邊形BCFD是平行四邊形,可得BC=DF=ak1。

可得AB:AD=AC:AE=BC:DE=a:(a b)

所以,兩個三角形相似。

方法二

這道題主要運用到平行線分線段成比例逆用,也就是,直線分線段成比例,那麼直線平行。

九上數學相似三角形判定的證明(相似三角形判定定理證明淺見)2

如圖所示,AB:BD=AC:CE,求證:BC//DE.

這個用到反證法。

若BC不平行于DE,那麼過D點作DF//BC,與AE所在的直線相交于F

可得,AB:BD=AC:CF.

因為AB:BD=AC:CE,所以CE=CF,可知E、F兩點重合。

所以BC//DE。

接下來我們來證明方法二

九上數學相似三角形判定的證明(相似三角形判定定理證明淺見)3

為了方便,還是将兩個三角形合并到一個圖形中。

ΔABC和ΔADE中,AB:AD=AC:AE,求證:ΔABC∽ΔADE。

AB:AD=AC:AE,可得BC//DE,可得∠ABC=∠D。

所以,兩個三角形相似。

方法三

九上數學相似三角形判定的證明(相似三角形判定定理證明淺見)4

ΔADE和ΔOPQ中,AD:OP=AE:OQ=DE:PQ.

作AB=OP,AC=OQ,

可得,AB:AD=AC:AE,

可得,ΔADE∽ΔABC,

可得,BC:DE=AB:AD=AC:AE。

可得,BC=PQ。

可得,ΔABC全等于ΔOPQ

所以,兩個三角形相似。

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