本文為“2022年第四屆數學文化征文活動

歐幾裡得原本對古希臘數學的影響

作者 : 劉瑞祥

作品編号：096

本文僅涉及以下兩部著作，至于其它的，囿于資料的匮乏，筆者無能為力了。

一、《阿基米德全集》，T.L.希斯編，朱恩寬、李文銘等譯，葉彥潤、常心怡等校，陝西科學技術出版社1998年出版

這本書分為兩部分：第一部分是希斯撰寫的八篇導論和部分注解，第二部分是阿基米德的著作，二者分别排列頁碼。以下隻是阿基米德著作中的部分至為明顯的例子，也就是在原著和注解中明确提到出自《幾何原本》（以下簡稱《原本》）的地方，僅涉及到“論球與圓柱I”部分，而那些任何問題都不可能繞開的内容，比如全等、比例論、窮竭法等等，不再舉例，《全集》對《原本》的發展也不再舉例。

1、命題5，提到對應邊的二次比等于多邊形面積之比，因為它們是相似的。這裡有個注解[5]，指的是這一結論出自[Eucl，XII，20]（《原本》第XII卷第20命題）卻錯了。查《原本》第XII卷隻有18個命題，這一注解應更正為[Eucl，VI，20]将兩個相似多邊形分成同樣多個相似三角形，且對應三角形的比如同原形的比；又原多邊形與多邊形的比如同對應邊與對應邊的二次比。（相似三角形面積比等于對應邊的二次方之比，括号内的文字是筆者加的，下同）我不知道這個地方是希斯的英文版就錯了，還是中文版錯了的。

2、命題6：給定一圓或一扇形，及一個确定的面積，則可作圓或扇形的内接正多邊形，并使其邊數不斷增加，則可得圓或扇形剩下的面積小于給定的面積，這是在[Eucl，XII，2]中被證明了的。這裡提到的《原本》命題是圓與圓之比如同直徑上正方形之比，在證明過程中曾提到阿基米德引用的部分。

3、命題17前的引理：這裡一共列舉了5個于幾何體體積的引理，包括等高的圓錐或等高的圓柱之比如同它們底的比（引理1，[Eucl，XII，11]）；有等底的圓錐或圓柱之比如同它們的高之比（引理1，[Eucl，XII，14]）；若一個圓柱被平行于它的底面的平面所截，則截得的圓柱比圓柱如同軸比軸（引理2，[Eucl，XII，13]）；在相等的圓錐或圓柱中，其底與高成互反比例；又若圓錐或圓柱的底與高成互反比例，則二者相等（引理4，[Eucl，XII，15]）；相似圓錐或相似圓柱之比如同它們底的直徑的三次比（引理5，[Eucl，XII，12]）.其中引理3是有同底的兩圓錐之比等于其底上有等高的圓柱之比，沒有直接對應的《原本》命題。《全集》中說到：所有這些命題已在早期的幾何中被證明了，希斯給出了這些引理的出處。

4、命題34推論：以球的大圓為底，以球的直徑為高的圓柱是球的3/2，這裡用到了[Eucl，XII，10]圓柱是與它同底同高圓錐的3倍，其中某是某的若幹倍，在立體圖形中即為體積比。

二、《阿波羅尼奧斯圓錐曲線論》，朱恩寬、張毓新、張新民、馮漢橋譯，陝西科學技術出版社2007年出版

本書原著的最後一卷，即卷VIII早已遺失，現在的版本分為上下兩冊：卷I~卷IV為一冊，卷V~卷VII為一冊。在正文前的漢譯者序中即提到[Eucl.XI.15]如果兩條相交直線平行于不在同一平面上的另外兩條相交直線，則兩對相交直線所在的平面平行。

下面僅以正文中的卷I命題4為例說明，其中提到《原本》中的多個命題。《圓錐曲線論》中的命題是：如果兩個對頂的曲面是由生成它的直線沿着一個圓的圓周移動而産生的，且這兩錐面的任一個被某個與這圓平行的平面所截，則這截面在這圓錐曲面内切出一個圓心在其軸上的圓，該圓與圓錐曲面在頂點一側的部分所包圍的圖形将是一個圓錐。

1、[Eucl.XI.3]：如果兩個平面相交，則它們的共同交迹是一條直線。這裡要提醒讀者注意的是，因為《原本》沒有立體方面的公設，所以《原本》對這個命題的證明是不嚴格的。

2、[Eucl.XI.16]：如果兩平行平面被另一個平面所截，則截得的交線是平行的。但書中誤寫成[Eucl.XI.6]。

3、[Eucl.VI.2]：如果一條直線平行于三角形的一邊，則它截三角形的兩邊成比例線段。但書中誤寫成了[Eucl.VI.4]。

4、[Eucl.V.9]：幾個量與同一個量的比相同，則這些量彼此相等；且同一個量與幾個量的比相同，則這些量相等。這裡說的是如果a:b=c:b，則a=c；如果a:b=a:c，則b=c。

這裡要說明一下書中用到的數學符号：《圓錐曲線論》中本來都是用文字叙述的，但現在的版本為使讀者方便起見，用了數學符号，其中“A:B::C:D”表示A:B=C:D，即雙冒号相當于現代數學中比例式中的等号。

《圓錐曲線論》内容豐富，難度很大，以上所提無非是管窺蠡測罷了。

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