共點線的證法

共點線在初等幾何中,很常見,因為體現三角形重要屬性的五心——重心、垂心、外心、内心和旁心,全是三線共點的産物。由此可見:共點線是反映圖形特性的一種重要方式。另一方面,許多共線點,搖身一變就是共點線,例如,上一篇文章中最初的例1,實際上也就證明了如下一個共線點。

T1和T2是内接于同一圓的兩個三角形,同時T1的頂點恰是T2各頂分成的三段弧之中點。

求證T1與T2所圍成的六邊形中,三雙對頂的連線共點。

（這也是蘇聯的一道賽題,因為在上一篇例1中已證這三線都過内心,故實質上證出了六線共點。）

反之,共點線又常常化為共線點,所以,它們在幾何中猶如一對孿生的姊妹,事實上,它倆在射影幾何中,正是互為對偶的圖形。

（1）證其中二線的交點在第三直線上,這又有兩種等價形式：

交點與第三線上某點的連線重合于第三線

交點與第三線上某兩點共線

（2）證明各線都過某個定點

（3）歸結為已知的共點線,例如垂心可化為外心

（4）利用判定共點線的有力工具-西瓦(Ceva)準則

2、證法舉例

例1、已知直徑為AB的半圓和半圓周上另一點X,設tA、tB和tX分别是此圓在A、B、X處的切線,設Y和Z分别為兩對直線tB、AX和tA、BX的交點（如圖1）。

求證：三直線YZ、tx、AB共點或平行。

圖1

分析：題中相切、平行和垂直(直徑所對圓周角)都是很好利用的條件。

證法1：證交點在第三線上(1)

首先，容易看出:當YZ∥AB時,ABYZ為矩形,相應的,X為半圓弧的中點,故tX∥AB,即這時三線平行。

若 YZ不平行 AB,設它們的交點為W,而tX與tA、tB的交點順次U、V,則有B

證法2證交點在第3線上(2)

假定W是tx與AB的交點,再證它在YZ上,因與上類似,故不再重複。

本例亦可用下面的西瓦準則證明

在前面,我們曾介紹了判定共線的一個非常有效的工具——梅氏準則。這段又稱共點線與共線點,猶如一對姊妹,按此理度之,在共點線中也該有一個類似的得力工具,事實也正是這樣,即有

(1)西瓦準則

準則:在△ABC中,設X、Y、Z依次在三邊BC、CA、AB或446·其延長線上,則AX、BY和CZ共點或平行的充要條件是

（2）應用舉例

對三角形的五心,皆可用西瓦準則證之。其中,内、旁、重、諸心與之相應的三線,分原三角形各邊之邊比皆為已知,故就原三角形運用西瓦準則,皆可輕易證之。至于外心,因它所共之三線不是發自三角形的頂點,故還需轉化成垂心,敵以它為例,說明如何運用西瓦準則,較有啟發作用。

例2、三角形的三條中垂線交于一點。

圖2

證明：設D。E。F依次為AABC各邊之中點（如圖2所示），連結DE、EF、FD,再設△ABC各邊的中垂線與△DEF相應(平行)之邊的交點分别為X、Y、Z,則有

注1：△ABC的外心,實為△DEF的垂心,故本例實際上也用西瓦定理證了三垂線共點。

注2：對于外心,用中垂線的等距性極易證之,這裡僅借以說明西瓦準則應用的廣泛性。

除了共點線，西瓦定理(心要性)還可以用來證線段相等比例、平行行等問題。試着下題。

已知在四邊那ABCD中,兩組對邊延長後的交點為E、F, EF//BD，延長AC交EF于G。求證：EG=GF.

說明： 這是1978年全國數學競賽第二試的第1題、當年公布的答案是巧妙的引了一條平行線EH// BF,如圖3,然後證出CEHF是平行四邊形，從而使問題得證。

圖3

現用西瓦定理,則不引等助線即可證之如下,

多麼簡捷!不但如此,其逆命題(EG =GF =＞ BD// EF)亦可由西瓦定理證明。

在例1中,仍設W是YZ與AB的交點,則就△AWZ應用西瓦定理,不難證明。