普通人熬夜是刷手機、刷小說、刷短視頻，而高斯熬夜後直接解決了困擾阿基米德的一個問題。高斯解決的問題是用尺規作圖法畫出正十七邊形，同樣給我們一晚上的時間，很多人也畫不出來，這可能就是我們與天才的距離吧。

高斯

高斯表示，正十七邊形沒什麼難的，也就困擾了數學家們2000年，困擾他一個晚上而已。這位傳奇般的天才數學家，用他的智慧将數學推向了一個發展巅峰，誰能想到，他解決這個問題的時候，還隻是一個19歲的少年。那麼高斯是如何用一個晚上解決這個千年難題的？

數學的幾何學上有這樣一個類群，叫正多邊形。我們比較熟知的正三角形，又叫等邊三角形，正四方形，又名正方形，從正五邊形開始，後面的正多邊形就很難在生活中看到了。不過對數學家們來說，越到後面越是刺激。

各類正多邊形

理論上，用尺規作圖的方法可以得到很多圖形。所謂尺規作圖就是隻用直尺和圓規将圖形畫出來，并且這個直尺上不能有任何刻度，圓規上也不能有任何度數表示，作圖者需要熟練掌握三角函數、中位線定理等數學知識。比如我們要畫一個正三角形，這是最基礎的正多邊形，每條邊都一樣長，夾角60度。

首先我們畫出一條線段，不用在意長度，反正直尺沒有刻度，這條線段的長度會成為之後正三角形的邊長。然後使用圓規，先将其尖端固定在線段的一個端點，以這條線段為半徑畫一個圓，接着轉移到另一個端點，和剛才一樣，再畫一個圓。這兩個圓會相交于兩個點，這個時候任選一個點，将其與所畫線段的兩個端點相連，就能得到一個正三角形。

正多邊形有個求内角和的公式，為（n－2)×180°，n是正多邊形的邊數。因為每個内角的度數是一樣的，因此可以用這個公式計算出每個内角的度數。所以正十七邊形，有17條相同長度的邊，内角和2700°，每個内角為158.8235294117647°。

乍一看，我們會覺得永遠也畫不出來，可是根據正N邊形的特點，是絕對可以畫出來的，隻不過要燒掉腦細胞而已。阿基米德的腦細胞夠多吧，他一樣也沒有畫出來。并且自阿基米德以後的2000年時間裡，都沒有一個人畫出來，漸漸地，尺規畫正十七邊形成為了千年難題。

但是在1796年的某一天，哥廷根大學19歲的學生高斯，用一個晚上的燃燒腦細胞，将這個困擾人們2000年的難題解決了。

高斯是德國數學家，在他那個年代，數學、物理、化學這些學科都是貴族才去研究的領域。而高斯的家庭很貧寒，父母都是平民，母親是一個沒有任何教育背景的農婦，父親是一個泥瓦匠，偶爾搞點工程，也就算是那個年代的包工頭吧。

郵票上的高斯

高斯的家裡沒有濃厚的學習氛圍，但高斯卻天賦異禀。高斯的父親有的時候跑工程，因為沒錢聘請算賬的人，因此隻能自己計算，小高斯3歲的時候，就會幫父親算賬。如果是有錢的家庭，這個時候早早就把孩子送進學校學習了，可高斯爸爸的出身限制了眼界，他看見高斯這樣，欣慰以後兒子可以接替他的工程。

高斯雖然早早展現了自己的天賦，可依然沒有得到良好的教育。後來高斯到了上學的年紀，他的爸爸本着以後好找工作的信念送他去念書。

很多人上小學的時候都做過這樣一道數學題，從1開始加到100，計算總和。這個時候老師會教大家使用高斯法解答問題，采取頭尾相加的方法，用1 100，2 99這樣的辦法以此類推，一共50對，因此得到結果5050。大家會用，但是卻很少有人知道這是高斯9歲的時候，想到的辦法。

他的老師感到震驚，察覺到這是一個百年難遇的天才，于是他去家訪，希望父母能重視高斯的教育。然而高斯的老爸還沒有意識到兒子是一個天才，他隻想讓高斯以後找個工作糊口就行。

還好老師們沒有使高斯的才能被湮沒，在他14歲的時候，高斯開始接受系統教育，在18歲的時候進入哥廷根大學學習。

哥廷根大學

高斯的大學老師每天都會給高斯布置三道家庭作業題，這天老師有事情，沒來得及找好高斯的家庭作業，于是随意想了兩道題再從自己桌子上随手抓了一道題，湊滿了三道給了高斯。高斯以為這個和平時的作業一樣，就拿着回住處去了。他老師沒發現，自己将如何用尺規畫正十七邊形這道千年難題，拿給了19歲的高斯當家庭作業。

高斯在完成作業的時候發現，老師布置的最後一道題怎麼感覺比平日裡難很多，他以為老師隻想考考他，于是一直坐在桌子前面思考如何解答問題。

題目是讓用尺規畫出正十七邊形，高斯并不知道這道題難倒過阿基米德，還以為是老師能解開的題目，于是不服輸的他用了一個晚上，終于将正十七邊形的畫法推導出來。

高斯先通過三等分角判定方程，建立了基本等價方程式，初步獲得解決方案後，他又建立了等價的一元二次方程， 最終隻需要求得cos（2π/17）就可以得到正十七邊形的尺規作圖法。

高斯的另一成就——高斯定理

用高斯的方法，主要是将 2π/17這個非特殊角度，通過轉換，用特殊角度的組合表示。其次就是對于三角函數的恒等變換，這一步工作看似相當基礎，實則關系重大，高斯正是通過這一系列繁雜的恒等變換，層層推進證明出正十七邊形的可作圖。這是高斯一個晚上完成的結果，當它第二天頂着黑眼圈去上課交作業時，把老師驚呆了，這個2000年無人解答的問題，到高斯手裡一個晚上就出來了。

值得注意的是，高斯并沒有直接畫圓，他隻證明了正十七邊形可以用尺規作圖法。這就好比，建造一座大樓，高斯是設計師，但他不參與修建過程。後世在高斯證明的引導下，畫出了正十七邊形。

步驟如下：先畫一個圓O，作兩垂直的直徑AB、CD。 然後在OA上作一個E點，要使O點到E點的距離是半徑的四分之一，再将C點和E點連接起來。将∠CEB平分線得到平分線EF再将∠FEB平分線，平分線為EG，與CO交于P點。作∠GEH，度數45°，并且交CD于Q點。

以CQ為直徑作圓，與OB交于K。再以P為圓心，PK為半徑，畫一個圓，與CD交于L與M兩點。分别過M、L作CD的垂線，與圓O于N與R。兩點作弧NR的中點S，以SN為半徑将圓O分成17等份。

正十七邊形讓高斯名聲大振，在其24歲的時候，發表了著作《算術研究》，成為當時歐洲的著名數學家。因為實在是太年輕了，大家稱呼他為“數學王子”。

高斯通過研究發現，并不是每個正多邊形都可以用尺規作圖法，邊數必須是2的非負整數次方和不同的費馬素數的積，費馬素數有5個，分别是3、5、17、257和65537。運用公式來解釋就是：

一個正N邊形，N=2ax3、2ax5、2ax17、2ax257、2ax65537，其中a是非負整數。這就說明邊數目是其他素數的，不能通過尺規作圖法畫出來。正十七邊形是20x17=17，因此可以用尺規作圖畫出。

早在高斯17歲的時候，他就發現了最小二乘法，這是一種概率統計法，在處理足夠多的數據後，高斯用在了曲線與曲面的計算上，并最終得到了正态分布。

有了這個方法，高斯的研究領域開始拓展到天文學，很多人并不知道，谷神星的運行軌迹，是高斯計算出來的。

他還參與繪制了當時漢諾威公國的土地測繪工作，利用他的最小二乘法以及線性回歸方程，提高了測量數據的精确度。高斯在測量工作中，發明了日光反射儀，經過他的改進，這便是現代測繪上最常見的鏡式六分儀。

1840年，高斯閱讀了俄國數學家羅巴切夫斯基用德語書寫的《平行線理論的幾何研究》，高斯很贊賞這位數學家，為了能讀懂他以往的著作，高斯在63歲高齡的時候，學習掌握俄語。他還建議自己工作的哥廷根大學聘請這位高人來任教。高斯、歐雅諾、羅巴切夫斯基三人，被後世稱為“微分幾何的始祖”。而就在他學習掌握俄語的同時，他還和韋伯畫出了第一張地球的磁場圖。

高斯是一個天才，他在多個領域都有建樹，但是因為缺少理論支持，很多并沒有以論文的形式發表，隻是通過筆記将他的研究結果保留下來。他經常在看到學術期刊上的論文和同事們讨論，說這個理論他之前也有想到，隻不過缺少時間去驗證。一些人因此抨擊他，說他吹牛撒謊、愛出風頭。高斯逝世後，人們發現了他的20本筆記，上面記錄的研究的确在這些期刊之前。

高斯與他的部分成就

很多人都苦于學習數學，認為這個學科不僅難而且枯燥。并且從某種程度上講，數學并不是自然科學，它無法通過實驗來證明，都是通過推導，因此在學科劃分上，它屬于形式科學。數學卻成為了自然科學的基礎，是研究自然科學必不可少的工具與手段。

可以說數學在生活中無處不在，除了人們日常所用的加減乘除法，建築、、運輸甚至醫療行業都有數學的身影。更有甚者說，學好了數學就可以玩轉股市。不管怎樣數學與我們的關系比人們想象的還要近，無形之中一些什麼數學知識都沒有的人，偶然在生活中參與了數學的運算。

數學學科中專門有一個分支，叫做數學美，意思就是數學與我們所說的美學也有密切的關系，比如黃金分割線、黃金比例等詞彙。許多人都認為天文學與物理學息息相關，卻忽略了數學的邏輯運用。高斯是數學家，同時他也是一名天文學家。

許多人都認為我們用不到那麼多數學理論，比如微積分，現實中很少有地方用到微積分，大家會覺得學習它沒有任何意義。其實學習數學的本質，不是死記硬背一些什麼定律，而是學習一種多元的思維方式，讓你能從不同的角度去看待世界。解答出微積分，隻不過是多元思維方式的一種表現罷了。

不可能人人都是高斯，一個晚上的時間就能解決2000年前的難題。但我們可以學習高斯，時刻對知識充滿興趣與尊重。