1. 基本方法
2. 基本性質
3. 基本結論與技巧
4. 基本題型（每個類型的特征 解題要點）
5. 如何用好題型問題簡單談談。

• 本次文稿僅作為梳理問題，基于不定積分計算的前提下，希望能給人以幫助，在這一部分就統考的數學而言，個人建議可以借助題型分類，從而可以根據不同類型的題幹本身的特征，快速定位題型，進而鎖定方法方向，更有針對性解決問題。

要想定積分計算的快，準，易，除不定積分基礎外，應當把該背的公式和方法梳理清楚。

定積分計算體系

• 2.1 牛頓萊布尼茨公式

圖片-02 牛頓萊布尼茨公式

前提條件請自己查。本來原函數存在，與定積分是否存在，但牛頓萊布尼茨公式建立起了兩者的關系，給出了：用原函數求定積分的方法。 因此，不定積分計算必然是基礎。

• 公式兩步走：1.算原函數（不定積分）；2.代上下限
• 2.2 定積分的換元法（注意條件，涉及到個别題開根号之後取值正負）

圖-03 摘選自《複習指南》

定積分換元法(3換步驟）： 1.換元 x=g(t)；2.換微元：dx=dg(t)=g'(t)dt； 3.換上下限：x=a，則t=m;x=b,則t=n[一一對應]

• 相比不定積分換元法而言，定積分換元不需要回代，隻用把對應的上下限值改掉即可。

圖-04 摘選自《同濟教材高數》

• 簡化定積分換元手法：先湊微分，再平衡系數，将來換微元的時候就不用求導了。

圖-05 簡化定積分換元的一個手法

• 2.3 定積分的分布積分法

圖-06 分部積分法

07-基本性質

08-基本性質

結論：定積分的值隻與積分區間，被積分函數有關，與其積分變量x的記号無關，當被積分函數僅含積分變量，且上下限為常數的時候，其值為一個數K.

09-會識别是個數

此類題的解題要點：識别定積分=K，兩邊積分構造A=K BA的等式進而解出A。

基本結論與技巧（背多分）

1.定積分的幾何意義（借用熟悉的平面圖形的面積來求解）

易錯點：定積分與面積的概念是有區别的，經過實測2019考研數學真題求圍繞面積的那個大題很多同學上來寫錯了表達式，甚至看了答案後還不知為何套了絕對值。實則基本概念出現了問題，因此要重視基本概念，定理和結論的前提條件。

10-來自百度文庫某位老師的PPT

11-常用定積分幾何意義公式

2.對稱區間上的積分性質：

要點：1.先看整體以及局部是否具有奇偶對稱性，有就用相應的結論 ; 2.沒有則轉化到正區間看“f(x) f(-x)” 設其中g(x)=f(x) f(-x)→先看是否能約分化簡；否則再拿去g(x)求導看導數是否為0，若導數為0，則恒為常數g(x)=g(0)(找特殊點）≡K（算常數） 通常考研數學的題，這個點一般會是提出一部分因子，剩餘部分要麼能化簡約分；要麼恒為常數找個特殊點算出來；當然再往深一步，就是分部積分法抵消一部分。

12-摘選某書

13-典型例題

3.周期函數，三角函數的基本公式與結論

周期函數

• 華裡士公式你會熟練用嗎？此外後期的伽馬函數你也會靈活用嗎？

華裡士公式

上述結論要求會證會用，要敏感，證明見同濟教材定積分換元部分例題，這一節的例題都是典型例題。

4.要靈活運用分項積分與結合積分，分部積分法

小技巧

基本題型分類（關注：分類的特征 解題要點 ）

題型1：基本型：屬于大衆臉，不特殊的常規性。

識别特征：如何識别呢？排除【下文】特殊幾個典型題型，剩餘的就是它-基本型。 解題要點： 方向→牛頓萊布尼茨公式， 算原函數，代上下值 方法→湊微分，換元法，分部積分法 前提：不定積分中常見的換元結構要記住。根式etc

牛頓萊布尼茨公式

偶爾可能需要先處理下求出表達式，（符号的運用，整體代換）

例題

題型2：對稱區間類型

典型特征：區間上下限相反數對稱→1s就可以識别出來了吧。 解題要點：見前文基本結論部分，

對稱區間

題型3：分段函數，|*|，max min，sign

典型特征:形如這類分段函數的特征，我想題幹表達式很鮮明的特征，你肯定會識别。 解題要點:形如∫f(g(t))dt,先做變量替換u=g(t)化簡，然後從分段點拆分，分段積分。

分段函數

題型4：被積分函數含變限積分函數，且無法積分出來的 或者 被積分函數含有導數類型

要點：借助分部積分法，可對階數進行升降處理。

類型一：被積分函數含變限積分函數，且無法積分出來.

識别特征：1.被積分函數含有變限積分函數；2.所含變限積分函數不可積分出；

解題要點：分部積分法&二重積分換序【理着口訣換序即可】

能識别出的前提：被積函數，變限積分函數要知道；不可積分函數要積累一些有重要用途。

【注意】是不可積分出來的變限積分函數才用分部或者二重積分換序，能積分出來就算呗。

【題外之話】：部分同學因為改了字母，就不會識别這類型可以看作為二重積分(請查概念) ∫dx∫f(x,y)dy=∫[∫f(x,y)dy]dx,倒着看:要會把先積分部分視為一元中的被積函數.

【重要】分部積分法的要點：先湊變限積分函數之外部分的微分，再用一次分部積分定理，就能把不可積分出來的變限積分函數求導幹掉了。（好好看這句話，解題的關鍵）

仔細看看

常見不可積分的函數有哪些，它們有什麼作用呢？ 1.在一元積分中出現，由于不可積分，因此暗示你分部積分處理； 2.在二重積分先積分部分出現，由于不可積分，暗示你調換二重積分次序； 亦可：先設不可積分部分為G(x)。 3.以上兩種途徑均不可解決，那麼你放心，必然是題中有相互抵消的部分。

常見不可積分的函數積累

類型二：被積分函數含有導數→方向：分部積分法

典型特征：被積分函數含有導數的定積分 解題要點：分部積分法→把導數部分先湊微分 與上一類題恰好相反。

典型例題

題型5：含周期函數，三角函數是天生的周期函數，别看見三角函數沒有沖動，以及結論。

• 典型特征：周期函數，三角函數 sinx cosx
• 解題要點：用好有關的基本結論見前文，取好a=?（證明過程值得借鑒）

周期，三角函數的若幹結論

題型6:區間再現型：幾乎是超綱的，記住幾個典型的。（考的概率很低，了解即可）

特别的∫x|sinx|dx這種再現值得借鑒上述公式的證明。 【心得】：但凡你嘗試了其他方法解決不出來的時候，進行不下去，往往就是利用換元法，區間再現來求解。

常見區間再現

題型7.大題考點，含參數積分的定積分。如何讨論，特别是絕對值類型，如何優雅的去絕對值(2次大題)

請詳看下圖含參數絕對值的定積分，如何分段處理的解決辦法。

絕對值

如何用好題型分類？

• 觀點：任何時候基本概念，基本定理和基本方法，基本計算是基礎和重點。題型隻是輔助梳理。
• 當然數學應試就避免不了題型的訓練，并且部分經典命題模式已經固定，由此梳理常考的符合命題依據的科學分類的題型解題要點，程序有時候能提升解題速度。

很多人用不好題型的原因，是基于以下幾個方面。

1.本來是題型課，可是你們自己做題的時候不會識别，反應不出來是課中那種題型。

2.對應的這類題的解題要點沒梳理清楚，就算知道是這個題型，腦子裡不知道分幾步解，每一步做什麼，怎麼解，

3.怎麼解，是需要相應的基本概念，基本定理和基本方法，以及紮實的基本計算作為依據的。（這裡有問題也沒辦法）

4.獨立，刻意重複練習太少，習慣看而不是動筆，過于沉迷視頻等。缺乏大量的練習和總結。

• 兩個情景的啟發：

場景

要用好題型的前提，首先相應的基本功紮實，其次對題型的解題要點要梳理清楚，明确這類題的解題方向和步驟，知道這個題從那個角度切入，分幾步解，每一步做什麼怎麼做。但是這個還得基于一個前提：就是你要能從茫茫題海中識别出這個題是屬于見過的那種題型，場景問題中所說M國的人具有膚色的特征特點，其實題型分類往往基于題幹條件的一些差别特點，比如對稱區間，被積分函數含有變限積分，這些特征我想你隻需要1S就能識别出來了吧。考場沒有提示，因此平時需要關注這些特征，從那個特征看出來用那個方法，怎麼做到“什麼時候用什麼方法”。微分方程中按類型求解，在此給你把定積分計算也按類型求解，你隻要拿到一個定積分計算題，鎖定對應的特征，然後根據上文梳理的解題要點去操作，基本考研數學的題是能完美搞定的。

• 舉個栗子：

真題訓練

• 本來這套體系應該結合我借助一些例題具體的講解如何使用，那樣的話更容易吸收。但是上文已經給了例題展示，目前也沒有時間做視頻分享。自己琢磨。
• 考研數學一個典型的東西：特征→（定位了類型）→決定：方法
• 并非所有的題型分類都靠譜，隻是輔助梳理。關鍵是梳理清楚思維，個人覺得定積分計算部分可以采用題型分類來學習。上述題型分類和要點，隻要你借助一定的題目來訓練，我想你可以複制思維，1s鐘之内就可以識别出那一種題型，是從而反應出解題的方向。因為特征太明顯了。

本文檔直接借助了部分資料的截圖，再次表示歉意，由于沒太多時間來鍵入公式與文字，但不做任何商業用途，單純分享，望能理解。

謝謝收看本期節目。

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