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導數的四則運算法則可複制

更新时间：2026-06-19 11:45:25

這是歐拉最早得出的用根式解表示sinx的無窮乘積的表達式，它和泰勒級數是完全等價的，不過你很難用直觀的方法看出來

這也是用根式解表示方程的經典應用，sin=0的解為： π，-π， 2π，-2π.......

導數的四則運算法則可複制（巧妙地運用導數原理得到自然數平方的倒數之和等于π）1

我們将上述進行整合，得到

導數的四則運算法則可複制（巧妙地運用導數原理得到自然數平方的倒數之和等于π）2

用一般的代數方法将上式整合，首項必定為X，第二項X^3的系數就是，接着就是X^5的系數

導數的四則運算法則可複制（巧妙地運用導數原理得到自然數平方的倒數之和等于π）3

我們将sinX求導，就會得到如下結論：sinX的導數是cos

導數的四則運算法則可複制（巧妙地運用導數原理得到自然數平方的倒數之和等于π）4

我們再對cosx求導得到-sinx

導數的四則運算法則可複制（巧妙地運用導數原理得到自然數平方的倒數之和等于π）5

再繼續對-sinx求導得到-cons，直到X^3消失，我們最終得到如下式子

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在這裡令X=0，我們得到

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所以-cosx等于-1，右邊有關X的項統統消失，僅剩下一個常數項

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這就是著名的巴塞爾問題，最終被歐拉巧妙的解決了

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