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導數的四則運算法則可複制
導數的四則運算法則可複制
更新时间:2025-04-03 11:08:31

這是歐拉最早得出的用根式解表示sinx的無窮乘積的表達式,它和泰勒級數是完全等價的,不過你很難用直觀的方法看出來

這也是用根式解表示方程的經典應用,sin=0的解為: π,-π, 2π,-2π.......

導數的四則運算法則可複制(巧妙地運用導數原理得到自然數平方的倒數之和等于π)1

我們将上述進行整合,得到

導數的四則運算法則可複制(巧妙地運用導數原理得到自然數平方的倒數之和等于π)2

用一般的代數方法将上式整合,首項必定為X,第二項X^3的系數就是,接着就是X^5的系數

導數的四則運算法則可複制(巧妙地運用導數原理得到自然數平方的倒數之和等于π)3

我們将sinX求導,就會得到如下結論:sinX的導數是cos

導數的四則運算法則可複制(巧妙地運用導數原理得到自然數平方的倒數之和等于π)4

我們再對cosx求導得到-sinx

導數的四則運算法則可複制(巧妙地運用導數原理得到自然數平方的倒數之和等于π)5

再繼續對-sinx求導得到-cons,直到X^3消失,我們最終得到如下式子

導數的四則運算法則可複制(巧妙地運用導數原理得到自然數平方的倒數之和等于π)6

在這裡令X=0,我們得到

導數的四則運算法則可複制(巧妙地運用導數原理得到自然數平方的倒數之和等于π)7

所以-cosx等于-1,右邊有關X的項統統消失,僅剩下一個常數項

導數的四則運算法則可複制(巧妙地運用導數原理得到自然數平方的倒數之和等于π)8

這就是著名的巴塞爾問題,最終被歐拉巧妙的解決了

導數的四則運算法則可複制(巧妙地運用導數原理得到自然數平方的倒數之和等于π)9

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