三角函數的責難
正弦、餘弦決戰
最近,實習生小天的11歲表妹拿着課本來問她:小天表姐,今天數學老師教了我們三角函數。
小天:嗯,三角函數,挺簡單的嘛。
表妹:老師讓我們畫正弦函數的圖像時,隻叫我們先标好 x=0,x=π/2,x=π,x=3π/2 ,x=2π 這5個特殊點,然後用圓滑的曲線将它們鍊接起來就行了。
小天:嗯,對啊。
表妹:可是我并不明白三角函數的圖像為什麼要這樣畫啊!
然後小天一臉懵逼,心想:三角函數不就是這樣畫的嗎,我怎麼知道它為什麼要這樣畫?!
于是,小天就打太極,說:額,這個嘛,老師說的是對的呀。。。就是這樣畫的。。。
小表妹就不依了:小天表姐,你怎麼連三角函數都不會啊,你不是數學學院的嗎?
竟然被11歲表妹懷疑自己的數學,小天立馬百度了一下“三角函數”:
好長好詳盡的介紹,但是貌似真的沒有講到三角函數圖像的形成過程。
小天的心哐噔一聲:完了,連百度都拯救不了我的三角函數。。。
最後,隻能向超模君求救。
小天就很正(zhuang)經(bi)地問超模君:超模君,有個問題要考考你,你知道三角函數(正餘弦)為什麼是兩個半圓嗎?
超模君一聽:當然知道,這是由它的自變量和因變量決定的。
小天問:那麼,三角函數的自變量和因變量是什麼呢?
圖片作者:LucasVB(1ucasvb)
超模君:你看看這張圖,正弦函數其實就是描述圓上任意一點的y坐标(紅)和弧長(藍)之間的關系。
小天,你仔細看看,左圖的藍色弧長(圓的周長)和右圖的藍線長度是相等的,弧長又和弧度也是完全對應的。
1弧度就是長度為1個半徑的弧所對應的角,π弧度就是正好半個圓。(圓周長C=2πr)
舉個例子,之所以 sinπ=0,正是因為當藍線走了一個半圓(即一個π)的時候,正好就走回到了 y = 0 的地方。
圖片作者:LucasVB(1ucasvb)
小天:那麼餘弦函數呢?
圖片作者:LucasVB(1ucasvb)
超模君:餘弦函數也是很簡單呀,也是描述圓上任意一點的x坐标和弧長之間的關系,隻不過在畫函數的時候,把圓上點的x坐标打了個彎(1/4圓),對應成了函數曲線上的y坐标,就像這張圖裡的藍線那樣。
小天,你過來看看,如果我們直接将函數豎起來,就成了下圖這樣:
小天:超模君,你好帥呀
超模君(低調低調,我的帥早已世人皆知):當然,這種對應關系也可以用在其它的幾何圖形上,隻不過畫出來的圖像就沒有上面的那麼美麗了。
比如下面這個醜陋的心形。
圖片作者:LucasVB(1ucasvb)
超模君還是覺得圓圓的才是最好看的!
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小天:哇,看來數學公衆号頭把交椅還是有點料的嘛!
超模君:等等,别急!除了正常坐标,想不想了解一下極坐标的魔法呀!(舉報!超模君快變唐僧了!)
(不過想到可以在表妹面前炫耀)小天還是耐心地聽着:什麼魔法?快講講!
超模君:哈哈哈,别急,還記不記得極坐标。我們把直角坐标轉換成極坐标,你試試看。
圖片作者:LucasVB(1ucasvb)
小天:超模君,這是怎麼弄的呀?
超模君:哈哈哈,首先我們需要把函數沿直線 y = x 翻轉。(在極坐标裡我們都是把0°定義在了朝右,因此需要這一步。如果0°是更自然的朝上,那就不需要這一步了。)
然後,我們把y軸折彎過來,直到它縮成一個點。。。
這樣,直角坐标就轉換成極坐标啦!
@小天,懂了嗎?
小天:額……應該……懂了吧。。。(小天有點暈。。。)
超模君:唉,看來你還是不懂,我再跟你說說吧。。。
我們把直線看作是具有無限直徑、無限曲率半徑的一個圓。
此時我們逐漸降低曲率半徑,從無限一直降到零,即是把y軸變成一個逐漸縮小的圓,直至到最後變成一個點。
而原來直角坐标的“y軸”所承載的信息,在轉換中就逐漸移交給了極坐标的“角度”。
注意:極坐标直角坐标
小天非常激動地留眼淚,心裡默默想着:我要回去找我表妹炫(zhuang)耀(bi)了!!
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