初中、高中數學學習，要養成善于思考、歸納整理、舉一反三的良好習慣。希望我們能從此筆記中悟出一些學習方法和技巧，取人之長，補己之短，站在前人的肩膀上，我們才能取得更好的成績！

一、有理數

圖1 有理數的分類（來自百度圖片）

注意：有限小數和無限循環小數都是分數，都是有理數

二、數軸

1、數軸：規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸

①數軸三要素：原點、正方向、單位長度

②任何一個有理數都可以用數軸上的點表示。（反過來說不對）

③在同一數軸上，右邊的數總比左邊的數大

2、相反數（a b=0）

①概念：隻有符号不同的兩個數叫做互為相反數，0的相反數是0

②性質：在數軸上，表示互為相反數的兩個點，位于原點的兩側，且到原點的距離相等

③性質：互為相反數的兩個數和是0.即a (-a)=0

3、倒數(ab=1)

①概念：乘積為1的兩個有理數互為倒數（乘積為-1的兩個有理數互為負倒數）

②性質：如果a與b互為倒數，則有ab=1,反之亦成立

③特例：倒數等于本身的數是1和-1.0沒有倒數

4、有理數比較大小

①正數>0>負數

②正數和正數比較大小，絕對值大的就大

③負數和負數比較大小，絕對值大的反而小

三、絕對值

①概念：在數軸上，一個數所對應的點與原點的距離，叫做該數的絕對值，記做|a|

②性質：任何數的絕對值總是非負數，即|a|≥0

③性質：正數的絕對值是它本身，負數的絕對值是它的相反數，0的絕對值是0

圖2 絕對值

四、有理數的運算

1、運算順序：先乘方，再乘除，最後算加減，有括号先算括号裡面的

2、運算律

①加法交換律：a b=b a

②加法結合律：（a b） c=a (b c)

③乘法交換律：ab=ba

④乘法結合律：（ab）c=a（bc）

⑤乘法對加法的分配率：a(b c)=ab ac

3、有理數的加法法則

①同号兩數相加，取相同的符号，并把絕對值相加

②異号兩數相加，取絕對值較大數的符号，并用較大數的絕對值減去較小數的絕對值

③一個數同0相加，仍得這個數

4、有理數的減法法則

①減去一個數，等于加上這個數的相反數

5、有理數的乘法法則

①兩數相乘，同号得正，異号得負，并把絕對值相乘

②任何數與0相乘，積仍為0

③幾個不為0的因數相乘，積的符号由負因數的個數決定，當負因數的個數是偶數時，積為正；當負因數的個數是奇數時，積為負。

6、有理數的除法法則

①兩數相除，同号得正，異号得負，并把絕對值相除

②0除以任何非0數都得0，0不可作為除數，否則無意義

③除以一個數等于乘以這個數的倒數

7、有理數的乘方

①幾個相同因數積的運算叫做乘方

②一個數可以看作是本身的一次方

③當底數是負數或分數時，首先用括号将底數擴上，再在右上角寫指數

④乘方的運算性質

⑴正數的任何次幂都是正數

⑵負數的奇次幂是負數，偶數次幂是正數

⑶任何數的偶數次幂都是非負數

⑷1的任何次幂都得1，0的任何次幂都得0

⑸-1的偶數次幂得1，奇數次幂得-1

⑹在運算的過程中，首先要确定幂的符号，然後再計算幂的絕對值

8、科學技術法

①一般地，一個數可以表示成

的形式，其中1≤|a|<10，a不為分數形式，n為整數，這種計數方法叫做科學計數法。

五、本章重要數學思想

5.1、數形結合思想

數形結合思想就是通過數和形之間的對應關系和相互轉化來解決問題的思想方法。本章主要體現在：

①用數軸比較有理數大小．

在同一數軸上，右邊的數總比左邊的數大，原點左側的數小于0，原點右側的數大于0.

②利用數軸來理解相反數、絕對值、有理數的加減法等．

如：互為相反數的兩個數在數軸上對應的點到原點的距離相等；異号兩數相加，取絕對值較大數的符号，并用較大數的絕對值減去較小數的絕對值．

③借助數軸化簡絕對值．

例1、已知a＜0＜c，ab＞0，|b|＞|c|＞|a|，化簡|a＋c|＋|b＋c|－|a－b|.

【思考】：本題關鍵是确定a＋c，b＋c，a－b的符号，根據已知可在數軸上标出a，b，c的大緻位置，如圖所示：

圖3 數軸

圖3 數軸

很容易确定a＋c＞0，b＋c＜0，a－b＞0.

解：由題意知a＋c＞0，b＋c＜0，a－b＞0，所以原式＝(a＋c)－(b＋c)－(a－b)＝a＋c－b－c－a＋b＝0.

5.2、分類讨論思想

有些問題包括多種情況時，要分情況讨論，即分類讨論．本章中有理數的分類、絕對值的化簡、求負數的幂等問題都需要分類讨論．運用分類讨論思想時要注意：每一次分類要按照同一标準；分類時要做到不重不漏。

例2、試比較2 013a與－2 013a的大小．

解：(1)當a>0時，2 013a>0，－2 013a<0，根據正數大于一切負數，則2 013a>－2 013a；

(2)當a＝0時，2 013a＝－2 013a＝0；

(3)當a<0時，2 013a<0，－2 013a>0，根據正數大于一切負數，則2 013a<－2 013a.

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