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高中數學三角形面積求最值
高中數學三角形面積求最值
更新时间:2025-04-03 18:26:24

題目:

高中數學三角形面積求最值(初中數學幾何極值)1

高中數學三角形面積求最值(初中數學幾何極值)2

圖1

思路:

△DEF的三個頂點均為動點,先暫時将其中一點E看成定點,按常規思路往下進行。

(1)作點E關于直線AC的軸對稱點E',關于直線AB的軸對稱點E",如圖2

高中數學三角形面積求最值(初中數學幾何極值)3

圖2

通過觀察,為使三角形DEF周長最小,點F、D應在直線E'E"上

(2)但是,因實際上點E是動點,故E'E"兩點的位置并未确定,所以需将點E的位置先固定下來

(3)連接AE'和AE",如圖3

高中數學三角形面積求最值(初中數學幾何極值)4

圖3

由已知條件可知,∠E'AE"=90°,AE'=AE"=AE

高中數學三角形面積求最值(初中數學幾何極值)5

∴隻要AE最小,則E'E"最小

(4)在E點運動的過程中,當AE⊥BC時,AE最小

于是本題有了答案。

解:

(1) 過A作AE⊥BC交BC于E;過C作CG⊥AB,垂足為G,如圖4

高中數學三角形面積求最值(初中數學幾何極值)6

圖4

高中數學三角形面積求最值(初中數學幾何極值)7

∴CG=AG=4(解直角三角形)

在Rt△CGB中,CG=4,GB =AB-AG=7-4=3

∴CB=5(解直角三角形)

高中數學三角形面積求最值(初中數學幾何極值)8

∴AB·CG=BC·AE

高中數學三角形面積求最值(初中數學幾何極值)9

(2)作點E關于直線AC的軸對稱點E',作點E關于直線AB的軸對稱點E",連接E'E"交AC于F,交AB于D,連接DE、DF、EF,如圖5

高中數學三角形面積求最值(初中數學幾何極值)10

圖5

(3) △DEF的最小周長=DE EF DF=E'E"

(4)連接AE'和AE",如圖6

高中數學三角形面積求最值(初中數學幾何極值)11

圖6

∵E'、E"分别是點E關于直線AC、AB的軸對稱點

∴∠E'AC=∠EAC,∠E"AB=∠EAB,AE'=AE,AE"=AE

∴∠E'AE"=2∠CAB=90°,AE'=AE"=AE

高中數學三角形面積求最值(初中數學幾何極值)12

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